有限群的CSS—子群
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作者: 周龙桥
摘要：群G的子群H称为G的CSS-子群，如果G存在一个正规子群K使得G=HK且H∩K在G中SS-正规. 本文引入了CSS-子群的概念，通过两个例子给出了CSS-子群与C-正规子群、SS-拟正规子群的区别和联系，得到了CSS-子群的一个性质。
关键词：极大子群；CSS-子群；C-正规子群；SS-拟正规子群
本文中的群均指有限群，概念和术语引自文[1]. 2008年，李世荣教授在文[2]中引入了SS-拟正规子群的概念. 群G的子群H称为G的SS-拟正规子群，如果存在G的子群B使得G=HB且H与B的Sylow-子群可置换. 王燕鸣教授在文[3]中提出了C-正规子群的概念. 群G的子群H称为G的C-正规子群，如果存在G的正规子群K1使得G=HK1且H∩K1≤HG. 在这种情况下令K=HGK1，那么G=HK且H∩K=HG是G的正规子群；当然H∩K也是G的SS-拟正规子群. 因此，我们引入下面的定义：
定义 群G的子群H称为G的CSS-子群，如果G存在一个正规子群K使得G=HK且H∩K在G中SS-正规. 此时K称为H在G中的正规CSS-补.
从上述的定义我们不难看出C-正规子群和SS-拟正规子群一定是CSS-子群. 但是CSS-子群不一定是C-正规子群，也不一定是SS-拟正规子群. 这由下面的两个例子可以看出.
例1 设G=A5是5个文字的交错群. 注意到G=AB， 其中AA4，BC5， 易知A是G的SS-拟正规子群，当然也是G的CSS-子群. 然而A在G中不是C-正规的. 事实上，假设A在G中是C-正规的，那么存在G的正规子群K使得G=AK且A∩K≤AG. 由于G是单群，那么K=G，AG=1. 从而A∩K=A，矛盾于A∩K≤AG.
例2 考虑群G=S4，是4个文字的置换群. 设α=（34），β=（123）. 因为G=<α>A4且<α>∩A4=1，因此<α>是G的C-正规子群. 当然<α>是G的CSS-子群. 设B是G的一个子群，满足G=<α>B. 这里B只有可能是A4和G. 由于<β>是A4和G的Sylow3-子群. 但<α><β>≠<β><α>，所以<α>不是G的SS-拟正规子群.
本文引入了CSS-子群这个新的概念，它是C-正规和SS-拟正规的推广. 利用它及Sylow-子群的极大子群对群G的p-幂零、p-超可解性等结构进行了刻画.
引理 [2]假设H是G的SS-拟正规子群，K≤G，NG. 那么：
（1） 如果H≤K，则H是K的SS-拟正规子群；
（2） HN/N是G/N的SS-拟正规子群；
（3） 如果H≤K，K/N是G/N的SS-拟正规子群，则K是G的SS-拟正规子群；
（4） 如果K是G的拟正规子群，则HK是G的SS-拟正规子群.
定理 设H是群G的子群，那么：
（1） 若H是G的CSS-子群且H≤M≤G，则H也是K的CSS-子群；
（2） 设NG且N≤H，那个H是G的CSS-子群当且仅当H/N是G/N的CSS-子群；
（3） 设π是个素数集合，H是G的一个π-子群，N是G的一个正规π′-子群. 如果H是G的CSS-子群，则HN/N是G/N的CSS-子群.
（4） 设L≤G，H≤Φ（L）. 若H是G的CSS-子群，则H是G的SS-拟正规子群.
证明 （1） H是G的CSS-子群，由定义知：存在G的正规子群K，使得G=HK且H∩K是G的SS-拟正规子群. 记K=K∩M，于是有：KM，M=HK∩M
=H（K∩M）=HK，而且由引理（1）得H∩K=H∩K∩M=H∩K是M的SS-拟正规子群. 因此H是M的CSS-子群.
（2） 设K是H在G中的正规CSS-补，那么G=HK且H∩K是G的SS-拟正规子群. 考虑到商群KN/NG/N，G/N=HK/N=（H/N）·（KN/N），由引理（2）知：（H/N）∩（KN/N）=（H∩K）N/N是G/N的SS-拟正规子群. 所以KN/N是H/N在G/N中的正规CSS-补.
反之，由题设知存在G/N的正规子群K/N使得G/N=（H/N）·（K/N）且（H/N）∩（K/N）=（H∩K）/N是G/N的SS-拟正规子群. 从引理（3）中不难看出G=HK，且H∩K是G的SS-拟正规子群. 因此H是G的CSS-子群.
（3） 设K是H在G中的正规CSS-补，即G=HK且H∩K是G的SS-拟正规子群. H是G的一个π-子群，N是G的一个正规π′-子群，则N≤K. 从而G/N=
（HN/N）·（K/N）且（HN/N）∩（K/N）=（H∩K）N/N是G/N的拟正规子群. 这就证明了HN/N是G/N的CSS-子群.
（4） 由假设知：存在G的一个正规子群K，使得G=HK且H∩K是G的SS-拟正规子群. 则L=HK∩L=H（K∩L）. 因为H≤Φ（L），所以L=K∩L，H≤L≤K，于是G=K. 故H=H∩K是G的SS-拟正规子群. 完成证明。（作者单位：贵州财经大学）
参考文献
[1]Gorenstein D.， Finite Groups[M]， New York： Harper Row， 1968.
[2]S.Li and Z.Shen， The influence of SS-quasinormality of some subgroups on the structure of finite groups，J. Algebra， 2008， 319， 4275-4287.
[3]Wang， Y. C-Normality of Groups and Its Properties. J. Algebra，1996，180，954-965.
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