立足数学本质、培养学生能力

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　　“任意角的三角函数”是新课改后内容出现变动的一节，这一节是三角函数这章里一个承前启后的核心内容，教学大纲要求借助单位圆理解任意角的三角函数的定义，并能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。许多教师在设计、组织本节教学时常遇到这样的疑难问题：如何设计“任意角的三角函数”定义的引入？如何在概念的教学中培养学生的能力？
　　本人收集了与本节教学有关的大量课例，对其做了深入细致的整理和剖析，现选择其中若干比较典型的，有代表性的案例列举、评析如下：
　　设计一：教师引导学生先复习初中锐角三角函数在直角三角形中的定义，接着引导学生在直角坐标系中用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数。教师利用三角形相似原理来讲解终边上的点的位置的变化不影响比值的结果，从而简化表达式引出单位圆，利用终边与单位圆的交点坐标或比值来定义锐角三角函数，然后给出任意角三角函数的定义，然后讲定义域和应用。
　　评析：这种设计基本源自教材，是多数老师选择的概念引入方法，学生在老师的引导下可以顺利自然的得出概念，且用时不多，结构紧凑，可以为讲解定义的应用节省出较多时间。但学生会存在以下疑惑：1、为什么要研究任意角的三角函数？有何意义？2、为什么要在直角坐标系中研究锐角、任意角的三角函数定义？3、为什么可以从锐角三角函数的定义推广到任意角三角函数，三角函数是否符合函数的定义？这三个问题在此设计中未能体现和解决，导致学生不能很好的认识坐标法作用；不能充分利用已学的函数知识来分析和推广函数的定义；不能让学生认识到三角函数是为了解决和刻画现实生活中具有周期性现象的一种模型。并且让学生感觉始终是老师在强行牵着走，生硬的给出知识和概念。在本次课的目标是也有些偏差，重难点应该是概念的形成、认识过程，而不是概念的应用。这种设计对概念的理解、从实际应用出发去认识概念都未得到体现。
　　设计二：教师引导学生复习初中锐角三角函数定义，然后放在直角坐标系中研究，用终边上点的坐标表示锐角三角函数，然后推广到任意角三角函数的定义：为终边上的一点，（简称三角函数比值定义）。最后由简洁的思想得到单位圆，从而给出任意角三角函数另一定义:为终边与单位圆的交点，所以。（简称三角函数单位圆定义）
　　评析：这种设计沿袭的课改前原教材的设计意图，先给出的三角函数的比值定义，然后得到三角函数的单位圆定义。教师在引入概念时节省很多时间，为后面留下的时间。但这种设计除了包含设计一中不足外，还忽视的学生的认知过程，直接把知识灌输给学生，学生成了知识被动的接受者；并且未突出单位圆定义的作用，为后面利用圆的对称性来解决问题、画函数图像、分析函数性质都带来不便，且没有很好利用数形结合的思想来分析问题，可以说只传授的知识，没有培养能力。本人认为这种引入是不可取的。
　　设计三：教师通过摩天轮做圆周运动引入课题，引导学生利用数学中函数建模知识来分析这一生活中的周期现象。圆周上的一点的运动位置在数学中用坐标来刻画从而引入直角坐标系，需要分析之间关系，接着借助初中锐角三角函数的定义知识分析为锐角时四个量之间的关系。通过三角形相似原理分析P点的位置变化不影响三角函数值的大小，令引出锐角三角函数的单位圆定义。利用函数的定义来认识三个三角函数，任取的自变量都有唯一函数值与之对应，让学生发现为钝角、象限角、任意角都满足这个函数定义，从而推广到任意角三角函数。
　　评析：这种设计从生活中的实际问题出发，引导学生利用所学知识来解决生活问题，激发学生的兴趣，也让学生明白学习三角函数的必要性（刻画周期现象），让学生认识到坐标法的作用，利用所学函数的定义分析锐角三角函数的概念，从而推广到任意角。对概念的分析比较深刻，并且很好的解决的设计一、二中未能解决的问题。这种设计符合新课改的要求，符合学生的认知特点和思维方式，培养了学生数学的看待问题、分析问题、思考问题的能力。唯一遗憾的地方时对于抽象的提出的摩天轮问题没有时间给出函数解析式,但可以让学生做为思考题去做，这样子也做到首尾呼应了。
　　设计四：教师提问学生对所学过的任意角和弧度制印象深刻的知识是什么，对学生回答的角在（下接15页）（上接第9页）直角坐标系中具有周期性这个特点进行引入，提示学生终边上的点在做什么圆周运动，并让学生列举生活中的例子，从而引导学生利用函数知识研究周期现象。余下设计同设计三中后面部分。
　　评析：这种设计充分考虑的学生的认知特点和思维方式。从已学过的任意角在直角坐标系中具有周期性规律，角的转动引出圆周运动，用函数研究周期现象。设计者汤学生明白的学习三角函数作用，贴近生活，让学生温故知新，培养了学生数学的提出问题、分析问题、解决问题的能力，并且继承的设计三中的优点。是符合新课改的典范之作。值得商榷的地方是时间问题，引入时间大概为18分钟，是否过长？这节课的重难点是对概念的认识、理解，所以我认为合理。
　　在收集的案例中，也有老师采用直接给出三角函数概念的设计，这样的设计虽然“开门见山”，对本节概念的知识目标能落实，但与新课程所倡导的启发、探究、经历、体验理念想去甚远，而且从长远角度讲对学生全面提高素质的培养不利，我认为不值得提倡。并且得到以下教学启示：1、正确看待教材的作用，教学时以教材为主，但不要仅仅局限于教材，教师应该带着对作为科学的数学和作为教育任务的数学的认识，在学生的数学思维培养和发展上发挥积极作用。我们还要从认知过程的角度解决“教什么”问题，我们应当教概念概括过程，应当教理解，即要使学生会在具体背景中建构数学定义；应当教应用，即要使学生学会根据问题需要调动头脑中的知识；应当教发现和创造。2、从学生学生“学”的角度处理教材，教材是学生数学学习的载体，在学生数学思维活动中起着重要的导向作用，学生是课堂的主体教师对教材内容处理要兼顾学生的认知特点、思维方式。让学生学会数学的看待问题，思考问题和解决问题，注重培养学生的数学品质和数学能力。
　　参考文献：
　　章建跃，为什么用单位圆上的点的坐标定义任意角的三角函数[J]数学通报、2007、1
　　章建跃，田颖，围绕“概念的核心”展开课堂教学。中学数学参考.2010、1
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