美国微积分教育改革的启示和思考

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　　摘要：本文从教育理念、教材、教学方法三个方面对美国微积分教育改革进行了综述，并结合我国微积分教育的现状提出了一些值得思考的问题，给我国的微积分教育改革提供一些启示。
　　关键词：微积分教育改革启示
　　20世纪以来，美国经历了数学教育改革的几个阶段，研究美国数学教育改革的成败，对我国数学教育改革具有重要启示。
　　一、 美国数学教育改革的历史
　　1教育思想和观念的变革
　　20世纪初，以杜威（Dewey， J）、康茨（Counts ，G）、波特（Bode， BH）为主要代表的进步主义在美国兴起，继而对数学教育产生了深刻影响，他们提出：“传统教育”远离生活，束缚个性发展，不适合美国的现实需要，而“进步教育”则贴近现实生活，培养人的个性，提倡实验室教学法，提出从经验中学习，在操作中获得各种满足直接需要的技能和技巧，解决现实需要，抵制固定不变的目标和教材。在进步主义教育思想的指导下，学校开设了注重学生本人经验的活动课程，且教学内容也以应用和解决问题为主，提出了设计教学、单元教学、实验室教学和分组教学等新的模式，旨在通过数学活动的经验获得知识，但问题是“进步教育”又忽视了基础知识的教学。
　　进入20世纪80年代后，美国的教育改革呈现出综合性与前瞻性的特点，趋于理性地分析和解决问题，面对教育质量不断下降，国际竞争日益加剧的严峻局面，美国国家教育质量委员会的报告出台后，引发了美国战后新一轮的教育改革运动，并在高等教育领域产生了深刻的影响。
　　从1994年开始，国际教育成就评价协会对当代青少年数学教育和科学教育进行重要的国际比较研究，提出了一些问题，引起了人们对20世纪90年代以来数学课程改革的反思：一是理解上的片面性，原有课程标准中的某些教学建议被理解得绝对化了；二是执行上的片面性，教师过分重视问题的设计和解题过程，而忽视数学基础知识的教学；三是实施上的局限性，如何在数学教学中恰当运用新的信息技术，教师难以从原有课程标准中获得指导；四是认识与实践分离，不少美国教师对上述课标虽然有所认识，但在教学中却我行我素，缺乏改革的积极性。
　　2美国微积分教材的变革
　　总体来说，50年代以前美国微积分教材是不够规范的，对概念和定理更倾向于讨论而不是正规的证明。较为规范的教材有《微积分学基础》（Elements of the Differential and Integral Calculus，WAGranville著，后经PFSmith和WRlongley修订）。以极限概念为例，Granville基本上采用的是定义，但表达并不正规：“称变量以常数作为其极限，当变量的持续变化使得的差值最终变为并保持小于任何给定的很小的正数”，微分中值定理虽然出现在教材中但被放在了微分这一章的最后，类似于一个补充说明，微积分的应用几乎都集中在几何学和物理学上，练习很少而且大部分是机械化和程序化进行操作的题目，教材厚度大约在300页左右。
　　60年代后期至80年代，美国高校扩招所带来的问题日趋严重，为了应对新的形势，这一时期的微积分教材作了很多的努力，一方面包含了更多的预备知识，而在从前这些知识被认为是学生本已经掌握了的；另一方面例习题的量大幅增加，解答也更详细、完备。《微积分学》（Calculus with Analytic Geometry， Haward Anton著）是这一时期的标准教材之一，其导出极限的方法是该时期教材中的典型：首先是十页有关极限的直观介绍，然后是十页求极限的操作，接着是十页使用定义的正规论述。教材厚度达到了1200页左右。此外也出现了一些试验性的教材，比较典型的有《单变量的微积分学》（Single Variable Calculus，Henriksen，Lees著），该教材首先定义了序列的收敛性，然后再用序列的方法来定义其他极限，重视数值逼近并且包含了很多理论性的练习。而另一本《微积分学：应用数学导论》（Calculus：An Introduction to Applied Mathematics，Greenspan，Benney著）所遵循的理念则是在运用数值例子的同时介绍数学模型。
　　1986年1月，美国数学会在新奥尔良州Tulane大学举行的专题会议正式拉开了改革的序幕。会议发表了名为《向着薄而有生气的微积分》（Toward a lean and lively calculus）的主题报告。该报告直指微积分教学的时弊，被认为是这次改革运动的第一份宣言。1987年10月，第二次微积分教学改革的专题会议在华盛顿举行，会议出版了论文集：《面向新世纪的微积分――泵，而非过滤器》（Calculus for a New Century：A pump，Not a Filter），明确提出了进行微积分教学改革的想法和目标。随后，美国国家科学基金会（NSF）宣布启动微积分计划，并投入了大量资金用于推动微积分教学改革，改革的核心之一就是微积分课程教材的改革。在NSF资助的25个微积分教改项目中就有21个涉及到设计革新的微积分课程。1990年，《微积分：一种整体化处理》（Calculus：An Intergrated Approach， DSmall，JHosack著）率先出版，书中突出了微积分的概念，并且从开始就强调对多变量微积分的处理，包括附录仅685页。1991年初另一本新型微积分教材《微积分》（Calculus，GStrang著）出版，这本教材鼓励适度使用计算机进行微积分学习，代表了微积分改革的一种重要思路，全书共615页。另外最值一提的是由哈佛微积分联盟编著的微积分讲义，首次提出了处理微积分概念的三原则（The Rule of Three）：分析化，数值化，图形化，此后三原则又演化为四原则（The Rule of Four）：分析化，数值化，图形化再加一条语言化――即任何一个概念都应当用代数、数值、图形和语言四种方式加以呈现。和传统教材相比，哈佛的《微积分》更早引进科学函数；应用的领域非常广泛，不止局限于几何、物理；习题常常要用计算机解答。哈佛微积分的4原则理念对后 　　来的微积分主流教材产生了巨大的影响。另一本《微积分》（Calculus，JStewart著）是目前美国最畅销的微积分教材，它同样运用了四原则来强化概念的理解。
　　3美国微积分教学方法的变革
　　在微积分教学改革中，教学方法的新变化表现在强调学生有更多的活动、讨论和试验的机会，让学生更接近科学的实际背景；教学形式上传统的讲授法大量减少，更多提倡学生自己发现和探究有关的思想和结论，更多强调师生以及学生之间的合作；教学过程则更多地采用计算机和其他新技术，更多地强调直觉和实验，降低严格化和理论性要求。教师的主要任务不仅只是教给学生什么，更重要的是创造一种有趣的，充满好奇的探索性的学习环境，并在这种环境中帮助学生建构知识，学会学习的方法。让学习成为学生的自发需要而不是教师的强制给予。而具体的做法则真正体现出了“教无定法”。 ss另外，网络技术的成熟与发展也使得微积分教学出现了新的模式。许多大学开设了网上微积分课程，学生利用网络教学系统学习微积分，完成作业，并能及时得到反馈再加以订正，教师则利用这套系统布置作业、进行阶段测试和期末测试，极大节约了时间和劳动力，从而能将精力更多的投入到课程设计上。此外，网上微积分教学论坛等各种网上教学资源使学生学习的渠道更加多样化，教学不再局限于课堂，教学时空得到了延伸。
　　二、 我们得到的启示
　　比较美国微积分改革的历程和我国微积分教育的现状，不难发现导致美国进行大规模的微积分教学改革的很多问题和弊病，如教学内容陈旧臃肿、不适应实际应用的需要、教学机械枯燥难以激发学生的兴趣、学生不及格率提高（据统计，各学校的不及格率普遍达30%以上，有的甚至高达50%左右）等也都是目前我国微积分教育所普遍面临的问题。“它山之石，可以攻玉”，美国微积分教育改革中所体现的一些新思想和实践的一些新举措，甚至是某些失败的经验都是值得我们研究和借鉴的。
　　1教学理念应当顺应时代的发展
　　没有理念的革新就谈不上教学内容和教学方法的改革。我国的数学教育因重视基础和训练，使得学生基本功扎实而受到世人关注，但是也存在许多问题，比如忽视学生学习兴趣的培养、课程内容繁难陈旧，编排过分重视学科体系，形式化比较明显，缺乏对知识的实际应用，大量枯燥的程序化的解题训练培养了学生计算能力的同时却忽视了对学生创新能力和自主构建知识能力的培养。
　　而美国的数学教育注意爱护和保护学生的学习兴趣，注意启发学生的学习积极性，注重直观教学，注重通过活动学习，注重数学与现实的联系，注重培养终身学习者；注重学生参与，注重过程的学习，注重开放式教学；注重合作学习。
　　2要高度重视作为基础学科的数学教育改革
　　数学不仅是自然科学，而且是经济及管理科学的基础，它的教育改革对人才培养乃至我国的经济发展至关重要，我们应当把它放在所有学科改革的首位，有组织、有制度、有计划地长期实行下去。目前学界对教育改革价值的理解尚未达成共识，对教改项目的重视程度和支持力度都远远不够。事实上，想要成功完成一个教育改革项目所付出的努力和艰辛有时甚至超过专业领域的研究，然而所得到的肯定和支持却远远不及后者。付出和回报的不对等自然难以激发对教改的热情，所以很多教师不愿意在教改方面投入过多精力。这不能不说是目前我国微积分教学改革能够在大范围内进行推广的成果不多的主要原因
　　3对各项教改试验采取的措施和获得的经验应该作收集、筛选、整理、论证，最后做出全面的、科学的评价，然后对那些具有普遍价值的经验和措施进行逐步的推广
　　目前由于种种原因我国的很多教育改革项目大多停留在书面上，缺乏具体的实践，更谈不上对试验进行数据统计和效果评价。这样的改革究竟有多少意义实在令人怀疑。另一方面，对某些成功的项目，比如规模和影响都很大的国家精品课程建设项目，至今仍没有任何对这些精品课程的经验和资料进行整理并公开发表，以供广大教师进行参考和借鉴。
　　4改革微积分教育的评价标准和考核方式
　　如何测量和评价一项微积分教改试验成功与否？从某种意义上说，这比回答微积分教学应该怎么改革更加困难。因为后者只要得到改革的相关人员的认可就行了，而前者却意味着新的微积分的改革思想要被整个数学界甚至公众广泛接受方可。要达到这一点还有很漫长的道路要走。诸如学生是否需要或在多少程度上需要理解微积分的实际应用价值？学生是否或在多少程度上需要学会使用微分方程去描述变化系统和建立实际问题的模型？学生应该掌握简单的计算和公式推导，但多少程度足够？传统微积分教学在这方面是否做过了头？技术是否应该被引入微积分的教学？用到什么程度合适？等等。对这类问题的不同认识必然导致对新、旧微积分教学优劣的不同评价。用传统的评价标准去评判新的微积分教学显然是不准确和有失公平的。因此，这一根本问题不解决势必极大制约微积分改革的发展。
　　5加强微积分教材的建设
　　教材是微积分教学的基础，体现了微积分教育的理念，决定了微积分教学的内容。
　　目前虽然每年都有不少重点教材、规划教材推出，然而大多数是经典数学理论体系和方法的简单重复，缺少实际应用，真正有新意的并不多。理科数学、工科数学、经济管理类数学、文科数学、职业教育的数学，不同层次的微积分教材大同小异，无非是经典内容的增删取舍，体现不出应有的差异性。教材大多比较注重符号的抽象表达，符号转换和公式推导，过于强调理论的严谨和数学语言的表述，通常忽视了浅显易懂的自然语言的运用。所以针对概念的数值，图像，符号，自然语言的不同表达，我国学生呈现出符号较强，图像稍弱，数值、语言最弱的趋势。这使得学生对抽象概念能暂时记住，会用于计算或证明，但对其中所包含的数学思想缺乏真正的理解，无法用来解决实际问题，时间一长自然就都忘却了。如果能借鉴美国微积分教材编写的“四原则”，以多种表征方式呈现知识，学生也许更容易接受抽象概念。适度使用计算机技术，使教材能够变得“立体”起来。加强对数学理论进行实际应用的内容，使学生真正明白微积分能做什么，怎样做，从而激发学习的兴趣。
　　6采用灵活多样的教学方法，在教学中引入计算机技术、网络技术
　　在教学方法方面，美国微积分教学改革中“小组合作学习”、“学生课外扩展项目”、“计算机参与微积分教学”等改革措施在经过一段时间的实践后被认为是具有广泛的积极作用的，值得借鉴和推广，从他人的成功经验中汲取养分，再与我国微积分教学的具体实际相结合，相信对我们的改革会有所裨益。
　　此外，在教学中适度引入计算机技术和网络技术，不仅可以使教学的手段更加丰富，同时也有效地延伸了教学的时间和空间，对于解决目前普遍的教学课时不足的问题来说不失为一个较好的方法
　　7重视教师的继续教育
　　在美国数学教师的继续教育中，“数学教育技术”已成为重要内容。在教改中引发的“数学战争”，使人们认识到“为提高教学质量，最为重要的因素就是应提高教师的质量”，因为一切的改革措施最终都要由教师来具体实施，教师教育技术的高低直接影响到教育的成败。在我国，数学教师的继续教育多集中在专业领域，对教师数学教育技术的提高并未给予太多的关注，取得教师资格证之后，提高数学教育技术就主要依赖于教师个人经验的积累和自然成长。
　　参考文献：
　　[1] 美国数学教师协会（NCTM）制定美国数学课程标准（2000）简介，2000年
　　[2] 路易斯伏利德勒，柴俊，张晶译，张奠宙校美国的微积分教学：1940-2004，高等数学研究，第8卷第3期，2005年
　　[3] 李秉舜，范良火美国大学微积分教育改革进展评述，数学教育学报，第2卷第1期，1993年
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