让学生在数学学习中学会反思

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　　摘 要：我们在解了一道数学题后，问题本身虽然获得了解决，但并不意味着解题思维活动的结束，而应该是深入认识的开始，笔者认为可以从思考过程、所涉及的思想方法、数学活动中有联系的问题、数学活动的结果这四个方面进行反思。
　　关键词：数学学习；反思
　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）19-074-1
　　数学学习中的反思不仅是对数学学习一般性的回顾或重复，更是要深入探究数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，反思的目的不仅仅是为了回顾过去，更重要的是指向未来的数学学习。由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质，必须要经过多次地反复思考、深入研究、自我调整才能洞察数学活动的本质特征。
　　那么在数学学习中如何引导学生进行反思呢？教师主要从以下四个方面引导学生进行反思：
　　一、对自己的思考过程进行反思
　　对自己的思考过程进行反思，就是在一个数学活动结束后，力求去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，一开始自己是怎么想的，走过哪些弯路，碰到哪些钉子；为什么会走这些弯路，碰到这些钉子有什么规律性的经验可以吸取；自己的思考和老师同学的有什么不同，其中的差距是什么，原因是什么；自己在思考途中是否做过某些调节，这些调节起到了什么作用，或者为什么当时不能做出某些调节；自己在思考的过程中有没有做出过某种预测，这些预测对自己的思考是否起到了作用，自己在预测和估计方面有没有带普遍意义的东西可以归纳等等。
　　例1 求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点。
　　学生的解法一般是：设所求的直线方程为y=kx+1，由y2=2xy=kx+1整理得：
　　k2x2+2（k-1）x+1=0，根据题意得Δ=0，解得k=12，所求直线方程为：y=12x+1。
　　老师通过引导学生反思问题的思考过程，可以发现学生在上述思考过程中有三个不严谨之处：
　　（1）设直线方程为y=kx+1，则已默认所求直线斜率存在；
　　（2）忽视了“k=0”的情形；
　　（3）混淆了“相切”与“仅有一个公共点”这两个不同的概念。
　　通过上述的反思，可以使学生发现思考问题过程的不足，从而完善解题过程，同时也提高了他们发现问题的能力，训练了思维的严密性和批判性，有利于学生形成严谨细致的学习作风和习惯。
　　二、对所涉及的思想方法进行反思
　　对数学思想方法的领会、掌握和运用是数学学习的精髓。数学思想方法的学习，一方面要靠老师在长期的教学中提示、归纳、点拨，更要靠学生自己在长期的数学学习中领悟、吸收和运用。中学数学中蕴涵的思想方法主要有：消元、换元、配方、待定系数、分类讨论、数形结合等。
　　数学活动总是要涉及数学思想方法，因此反思的一个重要内容就是：发掘活动中涉及了哪些数学的思想方法，这些思想方法是如何运用的，有什么特点，这样的思想方法是否在其他情况下运用过，现在的运用和过去的运用有何联系和差异，是否有规律性的东西。有了这样的反思，对数学思想方法的认识、把握、运用的水平就会不断的提高。
　　三、对数学活动中有联系的问题进行反思
　　所谓对有联系的问题进行反思，是指在数学活动中必然要与一些已经相识或似曾相识的问题有所联系，因而在活动结束以后应对那些有过联系的问题进行反思。回顾整个活动中曾经与哪些问题有过联系，有什么地方联系过，除此以外还可以与哪些问题联系；思考为什么会或可以产生联系，具体产生了什么联系，是问题的情景（知识、表述方式、图形）有联系，是问题的方法（策略、数学思想）有联系，还是问题的结论有联系；是整个问题有联系，还是问题的某个局部有联系。所有这些联系之间能否概括出某种规律或经验，经过这样的联系对原问题是否有新的认识。通过这种反思，力求使得每一个数学活动都不是孤立无援的，从而起到举一反三、融会贯通的作用。
　　四、对数学活动的结果进行反思
　　在数学活动结束后要从以下几个方面反思：反思整个数学活动的过程是否正确，反思导出数学结果的方法是否唯一，还有没有其他的方法可用，反思能否从本次数学活动的结果出发导出其他更进一步的数学结论，反思能否把这样的方法用来解其他的数学问题，也即能否一法多用，多题一解。若能很好地进行这样的反思，整个数学活动将会非常的圆满。
　　例2 设A，B为椭圆x29+y24=1的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，求直线PA和PB斜率的乘积。
　　反思1：本题的结果是-49，而椭圆方程中a2=9、b2=4，是否有一般性的结论-b2a2呢？
　　将椭圆方程改为一般形式x2a2+y2b2=1后，用相同方法可得kPA・kPB的结果为-b2a2，具有一般性的规律。
　　教师引导：我们能不能将此结论推广到更加一般的情况呢？
　　反思2：若将AB设为椭圆x2a2+y2b2=1的任意一条过中心的弦，P为椭圆上异于A，B的任意一点，且直线PA和PB的斜率存在，求kPA・kPB的值。
　　学生计算得出还是等于定值-b2a2。
　　反思3：既然椭圆中有此统一的结论，那么双曲线中是否也有类似的结论呢？
　　对例2解完后的一系列反思，既是让学生体验数学结论具有规律性的过程，也是学生在教师引导下进行数学探究的过程，为学生能开展一般性的数学活动积累了经验。
　　数学学习中的反思活动，一方面靠老师的示范和引导，更重要的是学生自己要学会反思，并在数学学习中自觉进行反思，逐渐形成反思的习惯和意识。
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