探究函数性质的几个命题
作者 : 未知

  摘要:函数的奇偶性、周期性、对称性有密切的联系,可谓知二求一。本文探究了函数性质的几个命题。
  关键词:函数    奇偶性    周期性
  对称性
  函数是高中数学的重点和难点,在高考中每年都占有一席之地,也一直是高中学生认为比较难学的内容。从现行的高中数学教材来看,函数y=f(x)的奇偶性、周期性、对称性等这一部分内容具有抽象性较强的特点,经常综合进行考查且容易出现难题。然而教材中涉及不深,仅仅介绍一些概念和简单的习题。在教学过程中,笔者在对一些函数问题的研究中发现了一些规律,做如下总结。
  一、有关函数图像对称性判断的几个命题
  在二次函数的学习中有如下命题。
  定义在R上的二次函数y=f(x)满足
  f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图像必关于直线x=a成轴对称。
  推广:对于任意函数y=f(x),则有命题1:定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x),即f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图像必关于直线x=a对称。
  命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)= -f(2a-x),即f(a+x)=-f(a-x),则y=f(x)的图像必关于点(a,0)对称。
  命题3:定义在R上的函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图像本身是一个轴对称图形,关于直线对称,反之亦然。
  命题4:定义在R上的函数y=f(x)满足f(a+x)= -f(b-x),则y=f(x)的图像本身是一个中心对称图形,对称中心是(,0),反之亦然。
  二、有关函数周期性判断的几个命题
  函数的周期性是函数的一个重要性质,学生在高中三角函数部分的学习中,学习余弦函数和正切函数的图像和性质时开始接触,并在有关三角函数习题的解题中大量应用。在此基础上,可推广到对一般的函数的研究中。
  函数的周期性:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T) =f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,叫T做这个函数的一个周期。
  函数的奇偶性:一般地,对于函数f(x),(1)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。(2)如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
  命题1:定义在R上的函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期 T=2a。
  命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=,(a≠0),则y=f(x) 必是周期函数,且其中的一个周期T=2a。
  命题3:定义在R上的函数y=f(x)满足f(a+x)=,(a≠0),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=2a。
  命题4:定义在R上的函数y=f(x)满足f(a+x)=,(其中a≠0,
  f(x)≠1),则 y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=4a。
  命题5: 定义在R上的函数y=f(x)满足 f(x+a)=f(x+b),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=a-b。
  证明:∵f[x+(a-b)]=f[(x-b)+a]=f[(x-b)+b]=f(x)
  ∴y=f(x)为周期函数,且其中的一个周期T=a-b。
  命题6:函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且满足 f(x+a)=f(-x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=a。
  证明:∵y=f(x)是偶函数,
  ∴f(-x)=f(x),
  又∵f(x+a)=f(-x)=f(x),∴y=f(x)为周期函数,且其中的一个周期T=a。
  命题7:函数y=f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+a)=f(-x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=2a。
  命题8:函数y=f(x)是R上的偶函数,且满足 f(x+a)=f(b-x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  命题9:函数y=f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+a)=f(b-x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  证明:∵y=f(x)是奇函数,且
  f(-x)= -f(x)。
  ∴f(x+a)=f(b-x)=f(x-b)
  又f[x+(a+b)]=f[(x+b)+a]=f[(x+ b)-b]=f(x)
  ∴y=f(x)为周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  (注意:命题中函数的周期未必是最小正周期。)
  在上面的命题中,我们又可以发现,命题中同时出现了函数的奇偶性、对称性和周期性,因此得到下面情形。
  三、探究新知,知二求一
  以命题8为例,将命题变为三个条件:①函数y=f(x)是R上的偶函数,②满足f(x+a)=f(b-x),③函数y=f(x)是周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  探究一:①② ③:
  证明:∵y=f(x)是R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x)
  又f[x+(a+b)]=f[(x+b)+a]=f[b-(x-b)]=f(-x)=f(x)
  ∴y=f(x)为周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  探究二:②③ ①:
  证明:∵f(x+a)==
  f(b-x)=
  ∴=f(a+b-x)
  =f(x)
  用-x代替上式中的x,则可得到f(a+b+x)=f(-x)
  又∵函数y=f(x)是周期函数,且其中的一个周期T=a+b。
  则f(a+b+x)=f(-x)=f(x),故函数y= f(x)是R上的偶函数。
  探究三:①③ ②:
  证明:∵f(a+b-x)=f(-x)=f(x),∴函数y=f(x)以直线为对称轴,∴f(x+a)== =f(b-x)。
  通过以上证明得到,结论一:函数y=f(x)是R上的偶函数,且满足f(x+a)=f(b-x),则y=f(x)必是周期函数,且其中的一个周期T=a+b。结论二:函数y=f(x)满足f(x+a)=f(b-x),且y=f(x)是周期函数,且其中的一个周期T=a+b,则f(x)是R上的偶函数。结论三:函数y=f(x)是R上的偶函数,且y=f(x)是周期函数,其中的一个周期T=a+b,则
  f(x+a)=f(b-x)。
  由此,我们可以得到:函数的奇偶性、对称性和周期性三者之间应该有紧密的联系,可谓“知二求一”。

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