由一道几何证明题谈怎样用几何定理证题
作者 : 未知

  推理是探索数学的重要方法之一,贯穿于数学教学的始终。在义务教育阶段,尤其是第三学段(七年级―九年级)的数学课程中,推理证明不仅是“图形与几何”部分的重要内容,与“数与代数”、“统计与概率”、“综合与实践”等环节也都有着密切的联系。在第三学段中,应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展。《义务教育数学课程标准(2011年版)》中也有很多和证明学习相关的教学目标和建议,但仍有不少学生不重视推理证明,不会用定理证明结论。笔者在教学中摘录了一道几何证明题,通过对其多种解法的讨论及种种错误的分析,浅谈一点在几何证明教学中受到的启示,以期提高学生用几何定理解决几何证明题的能力。
  题目:如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N。若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形。
  分析:本题考查了三角形全等、正方形的判定、角平分线的性质等知识点,是希望学生通过分析已知条件,找到未知与已知的关系,找齐证明正方形的条件从而证明。
  本题的解法有多种,笔者在此罗列其中的三种以供参考:
  解法一:先证明四边形MPND是平行四边形,再证明有一个角是直角及一组邻边相等,从而证得正方形。
  ∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,∵∠ADC=90°,∴∠PMD+∠ADC=180°,∠PND+∠ADC =180°,∴PM∥ND,PN∥MD,∴四边形MPND是平行四边形,又∵∠ADC=90°,∴□MPND是矩形,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵AB=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,∵∠PMD=∠PND=90°,PD=PD,∴△PMD≌△PND,∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形。
  解法二:先证明四边形MPND是菱形,再证明有一个角是直角,从而证得正方形。
  ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵AB=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,∵∠ADC=90°,∴∠ADB=∠CDB=45°,∵PM⊥AD,PN⊥CD,∵∠PMD=∠PND=90°,∴∠MPD+∠ADB=∠NPD+∠CDB=90°,∴∠MPD=∠MDP=45°,∠NPD=∠NDP=45°,∴PM=MD,PN=ND,又∵∠ADB=∠CDB, PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN,∴PM=MD=PN=ND,∴四边形MPND是菱形,又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是正方形。
  解法三:先证明四边形MPND是矩形,再证明有一组邻边相等,从而证得正方形。
  ∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵AB=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形。
  典型失误及分析:
  失误一:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵AB=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,又∵PD=PD,∴△PMD≌△PND,∴PM=PN,又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是正方形。
  失误分析:本小题证明正方形的方法多种多样,上述解法想到要证邻边相等和一个内角为90°,但忽略了用这种方法的前提条件是证得这个四边形是平行四边形,其实对于平行四边形和特殊的平行四边形的判定方法很多,每种方法都有对应的定理支持,学生在学习此内容时对于各种方法可能都会,但又不是完全会,所以对于多种方法之间的区别和联系重视不够,导致在用的过程中有“张冠李戴”的嫌疑,从而导致错误。
  失误二:∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD =∠PND=90°,
  ∵∠ADC=90°,∴PM∥ND,PN∥MD,∴四边形MPND是平行四边形,又∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形,
  ∵△ABD≌△CBD,∴∠ADP=∠CDP,在△MDP和△NDP中,
  ∠PMD=∠PND,∠ADP=∠CDP, PD=PD,∴△PMD≌△PND,∴DM=DN,∴四边形MPND是正方形。
  失误分析:学生在证明时可以选择“同位角相等,两直线平行”,却没有写出“∠PMA=90°”;也可以选择用“同旁内角互补,两直线平行”,却在书写时遗漏了“∠PMD+∠ADC=180°”。是学生不知道如何证明平行吗?其实不然,学生对于定理都了解,但书写时却又没有按照定理的“条件、结论”来完成,理所当然的认为有些步骤是可以不用写的,以为大家都能懂,但事实上就是恰好漏写的就是关键步骤,所以无法全对。
  失误三:连接MN,交BD与点E。∵BD平分∠ABC,
  ∴∠ABD=∠CBD,∵AB=BC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,
  ∴∠5=∠6,又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN,∴∠3=∠4,
  又∵∠PMD=∠PND=90°,∴在△DME和△DNE中,∠PMD=∠PND=90°,∠5=∠6,DE=DE,∴△DME≌△DNE(AAS),∴ME=NE,∴DE垂直平分MN,∴∠MED=90°,∵∠MDN=90°,∠PMD=∠PND=90°,∴四边形MPND是矩形,又∵∠MED=90°,∴四边形MPND是正方形。
  失误分析:学生想通过对角线之间的关系来证明,其实学生能想到从对角线的角度来分析问题很好,但对对角线的相关定理不够熟悉,找不到正确方法,所以证明全等三角形时找不到正确的对应角,导致错误。
  教学启示: