例谈几何定理教学
作者 : 未知

  几何定理是经过确认真实的数学命题,是证明数学问题的基本依据之一,定理教学是中学数学教学的重要组成部分,是数学学习的基础,在数学教学中占据重要的地位。因此,数学教师应重视定理教学,更新教学理念,探索教学方式,致力于提高几何定理教学效果。
  一、实践操作、引导学生发现数学定理
  传统的定理教学,“先给出定理,后加以证明”,即教师先给出定理内容,学生将定理背下来,然后证明该定理。整个教学过程学生被动的接受,却不知道定理的由来,对定理理解不深刻,更谈不上定理的实际应用背景。新课程理念要求,学生是学习的主体,教师通过引导学生实际操作来发现定理,有助于对数学知识本质的理解,也有利于帮助记忆定理,培养学生的发现问题能力和创造能力。
  例如,人教A版数学必修②第二章直线与平面平行的判定定理教学,不是将定理内容直接呈现给学生,而是从日常生活实例出发,将一书本放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘所在直线与桌面所在平面有何位置关系?转动门扇时,另一边与门框所在平面有什么样的位置关系?通过直观感知,观察思考,大胆猜想出直线与平面平行的必备要素。然后教师将准备好的直角梯形分别用底边和腰置于黑板平面内,并转动,学生观察,引导学生发现另一边所在直线是否与黑板平面平行,并说明两种情况不同的根本原因,从而确认直线与平面平行关键是三个要素:①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线和这个平面平行。
  通过设置动手实践的情境,让学生经历数学知识发生、发展过程,学生主体地位充分体现,学生更清楚地理解了线面平行与否的关键因素是什么,让学生在情境中学习和思考,同时领悟空间观念与空间图形性质,师生共同参与课堂,有利于创设和谐的课堂,提高课堂教学效益。
  二、理解定理的结构及数学表达
  以“如果……那么……”的形式存在的数学定理,学生易于发现条件和结论,而对于不是这一类型的定理,就会有学生不能真正弄清题设和结论。认识定理的结构是证明定理的基本出发点,它的主要任务是帮助学生厘清定理的条件和结论,发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质,或利用有关数学符号把已知和求证确切而简练地表达出来,或用定理来判断及证明时寻找符合定理的条件。
  如直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。题设为一条直线在平面内,另一条直线在平面外,且两直线平行,结论为平面外的这条直线与平面平行,这是定理的文字描述,同时学生需掌握用图形语言来理解几何定理,用符号语言表达几何定理,将三种表达方式统一在同一几何定理,真正实现对定理形式及本质把握。
  如该定理文字语言简述为:(内外)线线平行,线面平行,图形语言如右图,符号语言为:aa,ba,a・b,a・a。
  三、信息技术破解定理教学难点
  定理的证明是定理教学的难点,通过证明可以帮助学生弄清事物间的本质联系,真正实现对数学定理的理解,避免学生无奈地接受和承认定理。掌握定理的证明方法,有助于发展学生的逻辑思维,使学生逐步养成严谨地思考问题的习惯,提高分析和解决问题的能力。
  《数学课程标准》明确要求,教师要充分利用信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去。定理本身很枯燥,教师利用信息技术,将教材中定理教学信息通过文字、图像、动画、视频等手段直观再现或模拟出来,刺激了学生的多重感官,会极大提高学生的学习兴趣,使学生主动参与到教学活动中去,成为学习的主人而非知识的被动接受者。
  例如,在教圆的切割线定理时,在几何画板中作出如右图,AB为圆的切线,点C在圆上,AC与圆交于点D,测量AB的距离并计算AB・AB,分别测量AD,AC的距离并计算AD・AC,在图的左侧生成表格,发现AB2=AD・AC,拖动改变点A的位置,表格中的数据始终保持一致,说明等式恒成立,现只需证明△ABD∽△ABC。∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ABC,ABAC=ADAB从而AB2=AD・AC得证。通过利用信息技术,有效解决了教师作图不规范的难题,实现图形的可操作性,由定理的抽象文字描述通过图形直观的展示,避免死记硬背定理,学生易于接受,增加课堂的趣味性,化难为易。在信息技术的支持下,类比切割线定理学习,学生具备进一步自主学习割线、相交弦定理的能力,达到授人以渔的目的。
  四、定理的应用
  定理教学有引导学生发现定理、定理证明、定理的应用等环节,定理的应用一般指应用所学定理进行几何证明,有时用来解释实际问题。几何定理的应用教学,一般选取与生活实际密切联系的素材,让学生感受数学的实用性,激发学生的学习兴趣。比如教学勾股定理应用时宜选取素材下列素材,(1)一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时梯足B到墙底端O的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米至C,则梯足将向外移的距离是多少?(2)校园内有两棵树,相距12米,一棵树高16米,另一棵树高11米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?
  在教学直线与平面平行判定定理应用时,宜进行“想一想”, “证一证”, “变式训练”, “练一练”,“拓展延伸”等环节。“想一想”环节对与定理相关的一些命题作出判断,巩固理解定理;“证一证”环节挖掘判断线面平行所需的条件,接着带领学生反思感悟,通过线线平行,推证线面平行,将直线与平面平行(空间问题)转化为直线与直线平行(平面问题),这是处理空间位置关系常用的方法;“变式训练”环节发现线面平行关键是找线线平行,平行的位置关系又通常从三角形梯形中位线、特殊四边形等来寻找或构造。“拓展提高”环节则设置更为抽象的位置关系让学生挑战自己,增强自信。
  几何定理教学时,教师的任务是通过创设情境,引导学生参与课堂,把握数学知识的本质,将原本抽象枯燥的数学问题化、生活化,激发学生学习兴趣,同时要求教师根据几何定理知识的特点,兼顾学生的思维能力现状,合理使用教学技能,才能较好的落实教学目标,取得良好的教学效果。