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换元法在高中数学解题中的应用

作者:未知

  摘 要:换元法是高中数学习题解答中的重要方法之一,能够将一些复杂的问题通过换元进行简单化处理,将非标准的问题转化为标准化问题,促进问题的解答。
  关键词:换元法;高中数学;解题;应用
  高中数学具有大量的题目与试题类型,在解答过程中应当充分运用合理的思想与方法,对题目进行简单化与标准化处理,在解题过程中经常使用到的数学方法之一是换元法,在方程、不等式以及函数等问题解答过程中具有较为广泛的运用。
  换元法的运用丰富了高中数学解题思想,积极为学生提供了多种解题角度,能够帮助同学们对题目中的各项条件进行有效梳理,下文介绍了换元法在三角函数解题中的运用,在复合函数中运用换元法,运用整体换元法解题,在不等式解题中运用换元法等,充分探讨了换元法在高中数学解题中的各种运用方式。
  1换元法在三角函数解题中的运用
  在三角函数的解题过程中,教师可以引导学生将代数关系式代入到三角函数之中进行解答,对三角函数中的余角、同角、补角等关系进行分析,同时充分利用asinx+bcosx=[a2+b2]sin(x+[φ]),由a与b共同确定[φ]角数值,其中a与b都是一种非零实数,已知有tan[φ]=[ba]。
  例题1:假设现有实数a、b之间满足关系式a2+b2-ab=1,那么a2-b2的取值范围是多少?
  解题分析:利用换元法,假设a=[ρ]cosθ,b=[ρ]sinθ,以此替换原方程式中的a与b,能够得出([ρ]cosθ)2+([ρ]sinθ)2-[ρ]sinθ·[ρ]cosθ=1,对其进行化简处理,能够得出[ρ]2=[22-sin2θ],进一步得出a2-b2=[22-sin2θ]。此时把[22-sin2θ]设定为常数,把h代入到公式之中能够得出hsin2θ+cos2θ=2h,通过已知条件能够得出tanθ=[1h],θ的取值范围在0-2[π]。
  之后结合三角函数的性质能够得到-1≤[2hh2+1]≤1,对其进行求解能够得出h的取值范围在-[33≤h≤33],结合h值与a2-b2数值之间的关系能够得出-[233≤]x2-y2[≤233],最终得出本题答案。三角函数是高中数学学习的重要模块,学生在学习过程中容易出现概念上的混乱,给解题带来干扰,通过换元法的运用能够有助于同学们树立三角函数概念,从而正确解题。
  2在复合函数中运用换元法
  复合函数是高中函数体系中难度较大的知识点,在高考选择题或者天空题中都有体现,在复合函数的解题过程中运用换元法能够达到事半功倍的效果。
  例题2:现已知具有函数f(x),當x<0的情况下,具有f(x)=3x-2这一表达式,当x>0的情况下,具有f(x)=2x这一表达式,求解为了得到f(x)≥1,x在实数范围内的取值包括哪些?
  解题分析:此题可以使用换元法进行求解,当x>0的情况下,假设t=3x-2,能够得出t≥1,以t=2x进行计算能够更为快捷地得到答案。在计算过程中可以引入图像,能够对题目中的概念进行更为直接地展示,在直角坐标系之中更加方便各项题目的解答,要求充分结合x与t之间的关系来进行构图。
  在函数值的解题过程中,通过新元的构建与代换,能够充分而有效地分析出题目中各个复杂变量之间的关系,将各个不明朗的关系进行清晰而直观地展示,简化解题步骤,缩小取值范围,为题目解答提供了 一种新的解题思路,能够比较快速地求解出函数最值问题等。
  3运用整体换元法解题
  例题3:现假设已知有x与y值满足,x2+y2-2x+2y+1=0,那么[y+2x+2]的取值范围是多少?
  解题分析:对题目条件进行分析可以看出可以把点P看作是圆上的一点,符合(x-1)2+(y+1)2=1的条件,现在假设k=[y+2x+2],那么可以把这一题目进行如下转化,求解直线y=k(x+2)-2与圆之间是否具有公共交点,有几个,此即是k值的取值范围。
  通过直线与圆之间交点的问题的转化,能够看出圆心(1,-1)和直线之间的距离位置d=k=[k+1+2k-21+2k]≤1,能够求得4k2-3k≤0,对其求解能够得出0≤k≤[34],因此最终得出的范围在[0,[ 34]]。
  在这一解题过程中充分运用了整体换元的方法,将k值整体换作了[y-2x+2],从而丰富了解题思路,将其转化为直线与圆之间的关系,将其代入到圆的方程式之中进行计算,同时综合利用直线斜率、三角函数知识以及几何知识等进行解题,利用三角函数的有界性进行解题构造出一个关于k的不等式从而最终得出本题的答案。
  4在不等式解题中运用换元法
  不等式证明与解答问题是高中数学重要的应用模块,采用换元法可以对题目进行新元替换,帮助同学们梳理解题思路,从而达到更为效率地解题。
  例题4:现有[(x-1)29]+[(y+1)216]=1,不等式x+y-k>0这一条件始终成立,那么k值的取值范围是什么( )?
  解题分析:在这一不等式的解答过程中,教师可以引入一些新的变量,将题目中的条件进行充分显现出来,构建新的不等式关系,首先采用换元法,假设[x-13=cosα],同时[y+14]=[sinα],由此能够得到x=1+3cosa,y=-a+cosa值,把这这两个不等式均代入到x+y-k>0之中,能够计算出3cosa+4sina-k>0,由此能够得出3cosa+4sina=5sin(a+[φ]),5sin(a+[φ])>0,对其进行求解,得出k<-5,不等式恒成立。在具体的解答过程中通过换元法构建出新的不等式关系,简化了解题思路,有效促进了解题方式的简便化。是对不等式问题解答的重要突破口,提供了一种新的有效解题方法。
  5结束语
  在数学题目的解答过程中应当通过题目的设置充分分析题目中所运用到的是数学思想与数学方法,运用正确的数学思想进行解题,换元法的运用能够对数学解题达到事半功倍的效果,要求学生对此能够灵活掌握。
  参考文献
  [1]贺翊哲.高中数学解题中换元法的有效运用[J].中学生数理化(学习研究),2017(1):56-56.
  [2]李京玉.高中数学解题思想方法之一——换元法[J].教育教学论坛,2017(50):205-206.
  [3]赵金荣.换元法及其在高中数学解题中的应用[J].数学学习与研究,2015(13):98-98.
论文来源:《速读·中旬》 2019年3期
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