“圆”源不断

作者:未知

  在每年的中考数学大戏里,圆都是重头戏。有关圆的中考试题很多来源于教材,下面,我们撷取两例,以帮助同学们固本清源。
  【原题再现】苏科版九(上)57页例2:
  【解析】连接DB。AB是⊙O的直径,根据“直径所对的圆周角是直角”,可得∠ADB=90°,再由∠ADC=50°可得∠CDB=40°。∠ACD,∠ABD都是[AD]所对的圆周角,根据“同弧所对的圆周角相等”,可得∠ACD=∠ABD=60°,最后利用外角性质,可得∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°。
  【点评】本题意图是让同学们掌握圆周角定理,学会通过构造直径所对的圆周角来解决圆中的角度问题。一条弦所对的弧有两条,本题还可以利用另一个半圆上的点C,连接BC,构造直角∠ACB来解决。
  【解析】连接BD。由AD为△ABC的外接圆⊙O的直径可得∠ABD=90°,若∠BAD=50°,则∠D=90°-∠BAD=90°-50°=40°,所以∠ACB=∠D=40°。
  【点评】本题是教材例题的翻版,只是对图形结构进行了异化,单纯考查圆周角的知识,突出了“遇到直径,构造直角”的转化方法。
  小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积。这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索。
  【點评】本题是南京市中考数学的压轴题,此题是对教材习题的深度挖掘。做这道中考题,同学们更应该汲取的是其中的学习方法。研究一个问题要从特殊到一般,思考不受局限,运用多种角度、逆向思维,会有很多精彩的发现。事实上,本题可以进一步推广到一般三角形中:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n,∠C=α,则S△ABC=[mntanα2],同学们到了高中可以进一步验证这个结论。
  (作者单位:江苏省南菁高级中学实验学校)
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