分块矩阵初等变换的妙用

作者:未知

  【摘要】:在求解高阶矩阵的秩、以及逆矩阵时,往往伴随着复杂、冗长的计算.而运用分块的思想,首先把所求矩阵进行合适的分块,其次把矩阵的初等变换的方法运用到分块矩阵上,可以使问题相对简单化,从而实现简化计算的目的.
  一、分块矩阵求逆矩阵
  1.设A,B是n阶方阵.若7A+B与7A-B可逆,求解的逆矩阵.
  解:
  2.已知分块矩阵可逆,其中H为n阶矩阵,K为 m阶矩阵,证明:H和K都可逆,并求N-1.
  证明:detN=detHdetK≠0,所以detH≠0,detK≠0.
  因此H和K都是可逆矩阵.
  一、分块矩阵求秩
  3.设矩阵A,B∈Pn×m,证明:秩(A+B)≤秩
  证明:
  4.已知 n阶矩阵A满足A2-18A+77E=0,E为n阶单位矩阵,证明:秩(A-7E)+秩(A-11E)=n.
  证明:由于初等变换不改变矩阵的秩.
  【参考文献】:
  【1】董李娜,常晓鹏.分块矩阵广义初等变换的应用[J].河南教育学院学报(自然科学版),2018,27(04):58-61.
  【2】王蕾.分块初等矩陣及应用[J].数学学习与研究,2014(19):109.
  作者简介:张晓,女,甘肃兰州,大学本科,西北师范大学,研究方向:数学与应用数学
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