例谈反证法在中小学数学中的应用

作者:未知

  摘要:随着我国教育的不断发展,家长不仅重视学生的学习成绩,更加重视学生的能力提升。中小学阶段作为学生发展的重要阶段,在数学教学中更加需要重视学习方法,这样才能够提升学生的成绩,为学生树立学习信心。本文主要先说明反证法的原理和相应步骤,然后说明反证法在中小学数学中的应用,最后说明在中小学数学教学中应用反证法需要注意的问题。
  关键词:反证法;中小学;数学;应用
  中图分类号:G633.6     文献标识码:B    文章编号:1672-1578(2019)34-0156-01
   在数学教学过程中,最重要的一种证明方法就是反证法,反证法作为当前数学解决问题的解决方法,能够在一个命题无法进行证明,或者是感到非常困难时,就可以使用反证法,这种方法在中小学数学教学中应用非常广泛,那么就需要教师在教学时,让学生能够熟练掌握这种方法,这样才能够帮助学生更好的进行学习,提升学生的数学成绩。
  1.反证法概念
  反证法并不是独立出现的,而是间接证明法中的一种,是以反方向为证明的一种方法,也就是在肯定下提出的否定,通过对其矛盾推理,进而验证命题。再用反证法进行论证时,如果所证明的命题只有一种,那么就直接将这种命题驳回就可以,如果结论有很多反面,就需要将所有的反面全部驳倒,这样才能够证明原结论正确,这种证明方法还叫穷举法[1]。
  2.反证法原理和步骤
  反证法作为一种论证方法,主要是根据所需要证明问题的反面证明,来论证原命题的正确,也就是说,在正常的思维下,从问题的反面入手,将所知道的内容进行判断,然后根据逻辑学来进行严格推理,进而指导否定结论是错误,这样就可以说明原命题是正确。在中小学数学中常常用到反证法。如果遇到的数学题从正面来解答较为困难,就可以从反面进行解决。
  在对其中小学数学题目解答较为困难时,我们通常会使用反证法,步骤就是:第一,先根据数学题目提出假设,然后做出和题目对立的假设;第二,在提出假设后,进行验证,从对立的命题出发,根据定义、题设等等方面进行谨慎的推理,进而来说明假设并不成立;第三,得到结论,因为推出假设不成立,就可以说明原命题是正确的。在这过程中需要注意的是,对于所提出的假设必须要是正确的,如果我们不知道如何针对原命题提出假设,那么就会使用互为否定的方法。
  3.反证法在中小学数学中的优势
  当我们在解决某道数学题时,如果发现论题的条件不够,那么就可以使用反证法,反证法可以从命题的反面进行入手,这样就在一定程度上给予命题多个已知条件,那么这个就是反证法的优势,能够很好的解决问题,为问题提出相应的条件。还有就是反证法在一定程度上增加了已知条件,和原来的已知条件进行连接,能够将所有信息进行汇总,有利于在这过程中找到矛盾所在[2]。
  4.反证法在中小数学运用
  因为中小学的数学题较多,种类丰富,所以大部分都能够运用正常的解题方法进行解决,但是依然有很多数学题使用反证法,我们就需要考虑什么时候使用反证法才是正确的。
  4.1 基本定理。在中小学数学中,利用反证法能够很好的证明一些基本定理,因为这类命题本身能够知道的公式、定理较少,所以在得出结论前,所能得到的公式也就相对较少,或者是因为题设本身能够得出的结论较少,为了能够得到基本定理,就会运用反证法,例如,“過平面外一点只有平面的一条垂线”这类定理,就是中小学所运用的基本定理[3]。
  4.2 存在性问题的证明。在中小学数学中,数学问题中证明存在的有很多,在这过程中因为受到公式的约束,大多数情况下也会使用反证法进行证明。例如,“在论证三角形内角中,必须要有两个锐角”时,就可以先提出假设,说出如果三角形中有两个角为直角或者是大于直角,那么这个三角形就无法与勾股定理吻合,进而说明三角形中至少有两个角是锐角。
  4.3 无限性命题的证明。中小学生数学题中,还有很多论证存在无限性的问题,这个时候如果使用正常解答的话,将会非常复杂,那么我们就可以从反面进行论证。例如,证明“根号5是无理数”时,就可以通过假设,先列举公式,然后在对其进行验证,进而得出假设不成立,说明根号5是无理数。
  4.4 否定和唯一性命题。如果在结论中出现否定形式的命题就是否定性命题,这类命题有一个特点就是不能够直接进行证明,运用反证法能够很好的解决这种问题。在中小学数学中,如果发现命题“唯一”,就可以使用反证法,这会简化证明过程。
  5.运用反证法注意的问题
  因为反证法首先就要提出否定,这就要求最终的结果必须要正确,还有就是因为反证法是通过与命题相反的假设来论证原命题正确,所以在使用反证法时可能会出现很多矛盾,这个时候就需要保证要有明确的逻辑观点,需要我们反证法所提出的论证要正确,这样在进行推理时,才能够保证结论的正确。
  结语
  总的来说,反证法是数学中一种重要的证明方法,同时也是一种解决逻辑,能够帮助学生提升自身的数学水平,但是在这过程中,我们需要正确认识到,反证法并不能解决所有事情,还是需要我们根据具体情况来判断,反证法根据不同学段还有着不一样的要求,比如高中就需要用数学案例来认识反证法,能够运用这些方法来证明相关问题,而初中就是要明确反例的作用,能够有效的利用反例来进行证明,小学阶段并没有明确要求,但是作为一种思维,能够出现在小学奥数中,这样就需要我们在不同学段采取相应的方法。
  参考文献:
  [1] 嘉程程,李超峰.浅谈反证法及应用[J].农家参谋,2019(15):231.
  [2] 莫美珍.浅谈反证法在初中数学解题中的应用[J].学周刊,2018(17):43-44.
  [3] 王淼生,陈莉红.例谈反证法在中小学数学中的精彩演绎[J].江西教育,2017(05):14-16.
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