求拉格朗日插值多项式的一种简便方法

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　　摘要：给出求拉格朗日插值多项式的一种简便方法，该方法只需利用代数精度的定义、克拉默法则及其范德蒙德行列式的结论，可以推导出任意阶的拉格朗日插值多项式及其插值余项。
　　关键词：拉格朗日插值;代数精度;范德蒙德行列式;克拉默法则
　　中图分类号：O241.3 文献标志码：A
　　文章编号：2095-5383（2020）03-0057-04
　　Abstract：A new method was proposed for solving Lagrange interpolation polynomial. This method only needs to use the definition of algebraic precision， Cramers rule and the conclusion of Vandermonde determinant to derive any order Lagrange interpolation polynomial and its interpolation remainder.
　　Keywords：Lagrange interpolation;algebraic precision;Vandermonde determinant;Cramers rule
　　插值法是一種来自生产实践的数学方法[1-6]。很多实际问题都可以用一个函数表示某种内在的联系，这些函数有时候很复杂，不便于计算，而更多情况很难找到具体的函数，只能通过实验和观测来了解。通常可以利用插值法构造一个性质良好的简单函数，其图形正好通过给定的观测数据点，从而利用该简单函数来描述观测数据的变化规律。
　　由于多项式函数结构简单，数值计算和理论分析都很方便，所以常常利用拉格朗日插值法构造多项式函数作为插值函数。但在一般教材里，通常都是先考虑简单情形，通过构造满足2（或3）个观测数据点的一次（或二次）插值基函数，进行线性组合从而得到线性（或抛物）插值多项式函数;再将这种方法推广到一般情形，构造满足n+1个观测数据点的n次插值基函数，进行线性组合从而得到n次拉格朗日插值多项式。本文和常规思路相反，首先将插值多项式表达为函数值的线性组合的形式，再利用代数精度的定义，得出对应的系数，即插值基函数。求解时只需利用克拉默法则和Vandermonde行列式的结论。
　　1 拉格朗日插值多项式
　　本节首先介绍代数精度的定义，再根据该定义，重新推导一次、二次、n次插值多项式及其插值余项。
　　1.1 线性插值多项式
　　该格式恰好为拉格朗日线性插值多项式。
　　1.2 二次插值公式
　　该格式恰好为拉格朗日二次（抛物型）插值多项式。
　　1.5 算例
　　从上述例题可以看出：法一、法二的目标均为求出函数值前面的系数（即：基函数）。不同点：法一利用了代数精度的定义，需要掌握范德蒙德行列式的结论和克拉默法则;法二利用了基函数的性质，需要掌握多项式零点的性质。这2种方法都简单易行，读者可根据自己的情况掌握。
　　2 结论
　　本文提出的求解方法简单易于计算，并且更容易理解。将在后续内容中讨论如何利用代数精度推导Hermite插值方法，常微分方程初值问题的多步法等。
　　参考文献：
　　[1]关治，陆金甫.数值分析基础[M].北京：高等教育出版社， 1998.
　　[2]蒋尔雄，赵风光.数值逼近[M].上海：复旦大学出版社，1996.
　　[3]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2001.
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