基于机器学习的双椭圆柱绕流场预测
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作者:周彦澄 奚�� 霍韵羽
【摘要】 双椭圆柱绕流是一种典型的钝体绕流现象，本文针对并列双椭圆柱二维绕流问题提出了一种基于机器学习方法的智能预测模型。首先通过本征正交分解（POD）将原始高维流场信息降阶为低维空间内的一组流场特征系数向量，然后采用门控循环单元（GRU）神经网络模型构建当前时刻特征系数与之前若干时刻特征系数之间的时序关系，最后以初始若干时刻的流场特征系数为输入，利用训练获得的模型预测后续时刻的特征系数并重构全阶流场信息。涡量场预测结果表明，本文构建的预测模型能够有效地捕捉双椭圆柱绕流场的周期性规律，能在较长的时间跨度内保持与CFD模拟相当的流场预测精度，且具有更高的预测效率。
【关键词】 双椭圆柱绕流 本征正交分解 GRU神经网络 流场预测
引言：
单个或多个钝体的绕流现象广泛存在于航空、建筑、能源、环境等领域，对不同形状和数量的钝体绕流现象开展研究具有重要的工程意义。同时，钝体绕流也是流体力学中的经典问题之一，受到学术界的广泛关注。随着数值计算方法的发展，人们研究的钝体从最经典的单圆柱体[1]发展到双圆柱体[2]、多圆柱体[3]、椭圆柱体[4]、双椭圆柱体[5]等，所呈现的流动现象也越来越丰富。尽管传统计算流体力学（CFD）方法是解决科学和工程问题的重要工具，但开展复杂流动系统的高精度数值模拟通常需要耗费大量的计算资源。
近年来，机器学习方法在图像识别、语言翻译、工程科学等领域展现出了巨大的潜力，通过结合机器学习方法构建降阶模型用于复杂流场的重构和预测不仅可以保证足够的精度，同时也可以节省大量的计算资源，因此成了近来流体力学研究的一个热点。机器学习方法善于从大量数据中发掘潜在的模式和规律，也善于描述数据间复杂的非线性关系。机器学习方法的上述特点使其非常适用于描述像钝体绕流这样的与时间相关的复杂非线性流动问题。在最近的研究中，人们通过本征正交分解（POD）、自码器等降阶方法与长短期记忆（LSTM）循环神经网络[6]、时间卷积神经网络（CNN）[7]的结合，用于二维圆柱绕流场的预测。在这些研究中，机器学习方法被用于复杂流场特征的提取和特征间时序、复杂非线性关系的刻画。
本文将针对二维双椭圆柱绕流问题，采用POD方法进行流场降阶，并利用门控循环单元（GRU）神经网络模型建立流场低阶特征之间的时序关系，以期实现对周期性复杂绕流场的准确、高效预测。
一、预测方法
（一）问题描述
本文以如图1所示的二维空间内的双椭圆柱绕流问题为研究对象，两个椭圆柱截面中心的间距为0.024m，每个椭圆柱截面的半长轴和半短轴长分别为0.005m和0.003m。二维双椭圆柱定常绕流的流型仅与雷诺数Re=ρvd/μ有关。其中，ρ为来流密度，v为来流速度，d为特征长度，μ为来流动力粘性系数。本文中，来流介质为水，其密度ρ和动力黏性系数μ分别取998.2kg/m3和1.003×10-3kg/（m・s）。图1给出了我们关注的流场区域，即计算域的尺寸及相应的边界条件，通过调节来流速度，可以计算得到不同雷诺数下的绕流流型。在合适的雷诺数范围内，通过非定常CFD求解便可获得周期性变化的双椭圆柱绕流场。
（二）POD降阶
利用CFD求解器计算得到的流场信息通常可以表示成一个高维向量，该向量的维数对应着计算域内的节点数。这里，我们利用本征正交分解（POD）方法将描述流畅信息的高阶向量通过一组最优正交基投影到一个低阶的向量空间中，并最大程度地保留原始流场的信息。假设我们提取了m个时刻的流场信息作为样本数据，并将其表示为n×m维的数据矩阵，即S=（s1， s2，…，sm）。其中，st=（st1 ， st2 ，…，stn）T（t=1，2，…，m），表示数据矩阵S的第t列向量，列向量中的各分量分别对应t时刻某一物理量（如压强、速度、涡量等）在流场中各节点的取值，n为计算域中节点的数目，即原始流场信息的维数;sti表示t时刻某一物理量在流场中第i个节点上的取值。
为便于POD方法的使用，我们不妨将描述流场信息的数据矩阵中的每一列表示成平均量和脉动量的叠加形式，即st=s0+t。其中，表示m个流场的平均值;表示t时刻的流场相对于平均值的脉动量，若将其按时间顺序进行排列便可得到描述流场脉动信息的数据矩阵。
POD的目标就是通过少量正交的基向量φr和对应的系数αr来构造脉动量t的近似表示，即。其中，POD基向量可通过对矩阵进行奇异值分解确定，如果将奇异值矩阵中的奇异值从大到小排列，即σ1≥σ2≥…≥σm，那么φr就是第r个奇异值对应的右奇异向量;αtr为t时刻第r个POD基向量对应的系数。截断阶数R为满足下式的最小整数，即，其中εT为截断误差。I（R）表示前R阶基向量所包含的流场信息占原始流场信息的比重，当I（R）→1时，表示前R阶基向量所包含的流场信息越完整。通过POD降阶，我们可以将n维流场降至R维，即用一组基向量φr（r=1，2，…，R）和对应的系数αtr来近似脉动矩阵，进而获得原始流场信息的降维表达。
（三）预测模型
在确定POD基向量φr和截断阶数R之后，某一时刻的n维流场特征可以用一组R维系数αt=（αt1，αt2，…，αtR）T近似表示，即。于是，双椭圆柱绕流场的预测问题就可以转化为POD系数的预测问题，可表示为αt+1=f（αt，αt-1，…，αt-K+1）。其中，K为输入特征系数的时间跨度，表示某一时刻的流场特征系数由前K个时刻的流场特征系数决定。本文中，我们将采用门控循环单元（GRU）神经网络模型[8]来构建关于特征系数的时间历程关系，即αt+1≈GRU（αt，αt-1，…，αt-K+1）。因此，基于机器学习方法的双椭圆柱绕流场预测流程可简述为：1.利用CFD模拟获得稳定的周期性流场，提取个时刻的流场信息（如压强、速度、涡量等）快照矩阵S=（s1， s2，…，sm），其中st=（st1 ， st2 ，…，stn）T（t=1，2，…，m）;2.利用POD降阶方法获取流场快照矩阵的前R阶基向量φr（r=1，2，…，R）及对应的系数αt=（αt1，αt2，…，αtR）T;3.连续选取个时刻的流场特征系数作为样本数据，采用GRU模型构建t+1时刻的特征系数与前K个时刻的流场特征系数之间的时序关系αt+1≈GRU（αt，αt-1，…，αt-K+1），t=K，K+1，…，P-1;4.以连续K个时刻的流场特征系数α1，α2，…，αK为初始输入，利用训练获得的GRU模型预测K时刻后的特征系数，t=K，K+1，…，并得到全阶流场信息的预测值。至此，我们建立了双椭圆柱绕流场预测的机器学习模型，利用该模型便可实现周期性流场的快速、有效预测。
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