基于Total-FETI法的混凝土损伤分析子区域剖分研究

来源:用户上传      作者:邱莉婷 马福恒 沈心哲

　　摘要：在整体有限元撕裂对接法和隐式梯度损伤模型结合的基础上，针对损伤子区域模拟的高精度要求和混凝土损伤扩展路径的不确定性问题，通过引入基于非局部损伤应变的子区域自适应更新方法，结合子区域更新误判修正，实现了混凝土损伤失效过程非线性子区域的高精度有限元网格自适应更新。同时，对L型混凝土试件进行不同子区域剖分数量和子区域分解形式的数值试验对比分析。研究结果表明：模型不存在子区域分解敏感性;子区域剖分数量越多，或者子区域分解方式与损伤扩展路径相适应时，高精度有限元网格子区域的自适应更新数量越少，模型计算规模减小明显;此外，子区域界面节点的增加对计算规模削减的影响较小，模型整体计算效率提高明显。研究结果可为混凝土损伤分析的并发多尺度数值计算提供参考。
　　关 键 词：混凝土损伤; 隐式梯度损伤模型; 整体有限元撕裂对接法; 子区域自适应更新; 子区域分解形式; 计算效率
　　中图法分类号： TU43
　　文献标志码： A
　　DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.04.028
　　0 引 言
　　混凝土结构服役过程中在结构突变区域容易出现局部应力集中现象，其工程结构的失效往往源于局部构件的细观缺陷和损伤局部化行为[1-2]。进行混凝土结构的稳定性和强度分析时不仅要把握结构整体力学响应，同时也应该重视混凝土的损伤萌生、扩展和失效过程[3]。损伤力学作为模拟连续介质逐步劣化过程的有效分析方法，可反映结构从完整连续介质结构体到局部损伤萌生直至整体失效的全过程[4]。随着损伤的不断积累，混凝土因其准脆性特性将出现应变局部化和应变软化行为[5]，为保证计算精度，该区域有限元网格的精细化程度也需要不断提高。混凝土作为典型的准脆性材料[6]，其细观结构由骨料、硬化水泥砂浆和二者间的界面黏结带组成[7-8]。混凝土的断裂破坏是细观层次上损伤积累与宏观尺度上裂y失稳扩展交织发展的复杂过程[9]。混凝土结构的损伤扩展路径具有不确定性[10]，数值计算过程需要不断地进行网格自适应更新，以满足对损伤局部化区域力学特性的准确把握。
　　本文将整体有限元撕裂对接法和隐式梯度损伤模型相结合，在损伤子区域高精度有限元网格自适应更新的基础上，开展混凝土损伤失效过程自适应、多尺度区域分解模拟，并开展子区域分解影响研究，为模型混凝土损伤区域的高精度模拟和损伤扩展路径的不确定性问题研究提供解决途径。
　　1 混凝土损伤分析的Total-FETI法
　　1.1 基于隐式梯度损伤模型的Total-FETI法
　　隐式梯度损伤模型属于特殊的非局部损伤模型[11-12]，其将非局部模型中的权函数替换成格林（Green）函数[13]，该模型结合了空间相互作用与梯度公式的计算效率，操作更为简单，也称修正的Helmholtz’s方程：
　　εeq-clSymbolQC@2εeq=ε（1）
　　式中：非局部等效应变εeq不是由等效局部应变ε和它的导数显式描述的，而是作为包含方程（1）的边值问题和近似边界条件的解[14];梯度参数为内部长度参数l的函数。
　　有限元撕裂对接法（finite element tearing and interconnecting method，FETI）属于采用局部边界条件的不重叠区域分解法[15-16]，其并行计算的收敛速度与子区域的数量相互独立，可以将原求解问题划分成更多的子区域进行求解，且可以保证较高的求解效率[17]。整体有限元撕裂对接法（Total-FETI）在有限元撕裂对接法基础上将拉格朗日算子同时用于子区域界面连接和狄利克雷边界条件的施加[18-19]，可简化子区域刚度矩阵的求逆过程。非线性有限元撕裂对接法的线性方程系统和子区域Ω（s）间的位移连续条件可表述为
　　A（s）kδu（s）k+1+B（s）Tδλk+1=f（s）ext-B（s）Tλk-f（s）int，k（u（s）k）（2）
　　Nss=1B（s）u（s）k+Nss=1B（s）δu（s）k+1=0（3）
　　式中：A（s）是切线刚度矩阵;δu（s）和δλ（s）分别为位移增量和拉格朗日乘子增量;布尔矩阵B（s）由子区域界面的布尔矩阵和狄利克雷边界条件对应的布尔矩阵按行串连构成;f（s）ext为外力向量;f（s）int为内力向量;Ns为子区域数量。
　　隐式梯度损伤模型的非局部等效应变εeq在Total-FETI中可通过对给定子区域界面的拉格朗日算子进行修正实现：
　　λd=λλεeq（4）
　　式中：λεeq为非局部等效应变对应的自由度。
　　再通过扩展布尔矩阵B（s）将λd装配到相应位置，布尔矩阵Bd （s）由原来Total-FETI的子区域界面的布尔矩阵B（s）和非局部等效应变对应的布尔矩阵B（s）eq按行串连构成：
　　B（s）d=B（s）B（s）eq（5）
　　1.2 FETI的局部子区域自适应更新
　　本文混凝土结构的损伤分析采用隐式梯度损伤模型。对于各个非线性子区域的实时判别，可以根据特定加载步的各子区域的非局部等效应变最大值ε（s），maxeq与损伤发生时的应变阈值k0的相对关系进行。仅当子区域的非局部等效应变最大值ε（s），maxeq大于等于应变阈值k0时，损伤才会发生。这里，对子区域Ω（s）遍历其所有节点n得到其非局部等效应变最大值ε（s），maxeq，t和非局部等效应变最小值ε（s），mineq，t：
　　ε（s），maxeq，t=max（εeqi），i=1，2，…，n（6）
　　ε（s），mineq，t=min（εeqi），i=1，2，…，n（7）
　　记加载步t和加载步t+1所对应的非局部等效应变差值的预测值为Δε（s）t，则加载步t+1的非局部等效应变最大值ε（s），peq，t+1的实时预测值为[20]

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