以“鸡兔同笼”为例谈小学数学单元整体教学策略
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作者:卢兆静
【摘 要】“鸡兔同笼”是《孙子算经》中的一道著名问题，是我国古代的经典趣题。文章从教材及学情分析入手，准确定位“鸡兔同笼”问题的目标价值，重新划分课时，重组单元教学结构：第一课时，回归初心，引入列举法，为后续学习奠定基础;第二课时，拉长过程，渗透假设法，实现思维培育;第三课时，沟通融合，传授综合法，提升学生的思维能力。由此通过三个课时的螺旋递进式教学，实现提升W生解决问题能力的目标。
【关键词】小学数学;“鸡兔同笼”;单元整体教学;策略
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2022）24-0118-03
“鸡兔同笼”是我国古代的经典趣题，难度较大。在实际教学中，教师一致认为这个内容特别难教，反复讲、反复练，学生的错误率还是很高。教材建议用两个课时教学这部分内容，而实际教学中基本上都需要增加课时。“鸡兔同笼”问题的目标定位应该侧重什么？列举、假设、画图等方法孰轻孰重？怎样满足不同层次学生的学习需求？带着这些问题，笔者所在的教研团队对“鸡兔同笼”问题进行了单元整体教学实践。
1 “鸡兔同笼”单元整体教学研讨思路
1.1 比较不同教材，明晰价值定位
“鸡兔同笼”在不同版本的小学数学教材中都有所体现，当笔者所在的教研团队对这一教材内容进行对比时，发现教材都主张用列举法、画图法、假设法、方程法来解决“鸡兔同笼”问题。而列表法又是几种版本教材都共同采用的解题方法，这就体现了列表法的重要作用。从本质上说，列表法、画图法、假设法都遵循“假设―对比―调整”的思路。列表法不仅仅是与假设法并列的一种解题方法，更是假设法产生的基础。从本质上来说，假设是列举的特例，学生有了列举的经验，发现了隐含的替换规律（如将一只兔子换成一只鸡，腿少两条），才能真正理解假设法的原理。另外，大部分教材均未体现画图法，但这种方法能让解决问题的过程更加直观形象，能激发学生的兴趣，加深学生对所学知识的印象，因此画图法适合作为解释假设法的支架。因四年级学生未学习过方程知识，因此本单元将方程法删去，在五年级的方程单元再编排相应习题。
“鸡兔同笼”问题的教学价值不仅仅在于让学生掌握不同的解题方法，也可以使其了解我国古代数学文化，更重要的是能够引导学生尝试用不同的思路解决新问题，明确各种不同方法之间的联系，渗透枚举思想、假设思想、数形结合思想、建模思想等数学思想方法[1]。
1.2 前置学情调研，实施差异教学
为了更准确地把握学情，教研团队分别对一所城区学校、一所农村乡镇中心学校的四年级学生进行了前测，发现学生解决“鸡兔同笼”问题比较困难，正确率不超过25%。很多学生虽然在课外接触过“鸡兔同笼”问题，但仍不会做。在找到正确解题方法的学生中，运用假设法的占一半以上，而解决变式题时运用假设法的学生却减少了一半，这说明很多学生虽接触过假设法，但却不理解假设法的内涵。此外，解答变式题时更多的学生采用列举法。相较于假设法这样比较抽象的方法，学生有比较丰富的列举经验，因此更倾向于使用列举法。遇到新问题时，先试一试，再调整是常见的思路，只要有序地思考，就一定能找到答案。
1.3 内容螺旋递进，确定重组思路
1.3.1 降低起点，降低难度
综合学情调研，教研团队确定“鸡兔同笼”问题的起始教学需要保证低起点、低难度。教材中只安排了两个课时，但是从学情来看，两个课时太仓促，因此教研团队规划了三个课时。第一课时从最容易掌握的列举法入手，规定只能用列举法解决问题，给予学生充分的感悟时间，为假设法的引入与理解奠定基础;第二课时注重理解并尝试运用假设法解决问题，同时渗透画图法与列表法;第三课时的教学目标则是灵活运用不同方法解决问题。
1.3.2 尊重差异，因材施教
针对不同学生之间的差异，教师既要保证学生至少学会一种方法，又要给予不同层次的学生进一步发展的空间。如在列举法的教学中，要让能力较差的学生学会一一列举，能力中等的学生尝试折中列举、跳跃列举，能力较强的学生尝试采用一步调整法直接得出答案（与假设法思路类似）。
2 “鸡兔同笼”单元教学实践
2.1 第一课时，回归初心，引入列举法
有些学生首次遇到“鸡兔同笼”问题，觉得运用列举法是最容易的。第一课时以“非常规鸡兔同笼问题”为载体，引入能被广泛迁移的列举法，引导学生学会有计划地列举，尝试根据规律进行分析和调整，为下一课时假设法的学习积累活动经验。
2.1.1 由扶到放，教会列举方法
虽然学生之前有相关的列举经验（如租船问题），但是“鸡兔同笼”既要考虑头数，又要考虑脚数，第一次接触的学生往往无从下手。考虑到学生的学习起点，本课采用由扶到放的思路。课程一开始，教师出示主题情境：小明用小棒搭三角形和正方形，一共搭了8个，共用了29根小棒，三角形和正方形各搭了几个？由此引导学生解读信息，并思考解决方法。有学生提到假设、列举等方法，这时教师应适时强调：“是呀，要解决这个问题可以用很多不同的方法，这节课我们用列举法解决问题。”接着，教师引导学生思考怎么列举，并让会列举的学生教不会列举的学生，采用从一头有序列举的方式，分别列出图形个数（和是8），再检验小棒根数（看总数是不是29），通过引入列举法为学生的思维发展奠定基础。
2.1.2 核心问题，引导发现规律
在列举法中发现的规律可以为后面假设法的引入搭建桥梁，但是这样的规律需要核心问题来引领，促使学生深度思考。针对本课的第一个学习材料（搭小棒问题），学生采用列举法解决问题后，教师组织学生围绕“找到一个正确答案后，还需要列举下去吗？为什么小棒根数每次少1？”这一核心问题进行思考。通过讨论交流，学生发现三角形每次多1个，正方形每次少1个，小棒的总根数就会少1根。列到三角形5个，正方形3个时，小棒根数比29根要少，不符合要求，所以不用列举下去了。每次相差1是因为搭一个三角形比搭一个正方形少用一根小棒。核心问题的引领，可以让学生聚焦有序列举中的规律，简化列举的过程，为后续根据规律直接列举小棒总根数以及跳跃列举和假设法的引入奠定基础。
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2.1.3 灵活列举，推动思维发展
有了以上环节的列举经验，有了规律作支撑，学生自然而然会想办法简化列举的过程。第一课时主要有三个学习材料，前两个材料涉及的数据较小，第三个材料（笼子里关着一些鸡和兔。从上面数有16个头，从下面数有50条腿。鸡和兔各有几只？）的数据较大，可以给予思维能力强的学生展示的平台。折中列举的呈现，让学生明白可以从两头列举，也可以从中间列举，在此过程中需要考虑调整的方向，对学生的推理能力提出了挑战。跳跃列举的展示让学生体会到列举法也可以很简单，关键是根据规律进行调整。从有序列举到根据规律直接写腿数，再到跳跃列举，由扶到放，层层深入，假设法的算理呼之欲出。
2.2 第二课时，拉长过程，渗透假设法
掌握列举法让学生获得了学习的成就感，在此基础上探究假设法，可以将学生的思维发展引向更高层次。虽然部分学生课前已接触过假设法，但是真正理解假设法内涵的学生寥寥无几。因此，假设法的学习需依托列举的活动经验以及画图的直观支撑，循序渐进，逐步建构“鸡兔同笼”问题的模型，使学生真正理解假设法。
2.2.1 列举引路，无缝对接
从本质上讲，假设法是特殊的列举法，借助列举的经验，可以更好地帮助学生内化假设法。课程一开始，教师引导学生思考：前一节课，我们是怎么解决问题的？谁能用其他方法解决这个问题？由此引导学生回顾列举的过程，同时促使学生大胆探索新的方法。有了前一课时的列举经验，这样的引导基于学生的学习基础，更利于学生迁移运用。
2.2.2 画图支撑，直观理解
在学生尝试用假设法解决问题后，教师引导学生动手画图解释每一步的含义，在此基础上呈现课件，帮助学生整理思路。图与式的一一对应，可以帮助学生充分理解假设法。“画图―析图”的过程，在学生头脑中形成“换1差2”的表象，为学生举一反三、灵活运用假设法解决问题奠定基础。
2.2.3 不断反思，立体建构
“鸡兔同笼”问题的解决方法很多，但是教学重点不在多，而是应当注重不同方法之间的联系，引а生在反思中获得更好的发展。
【教学片段】
师：列举法、假设法、画图法有什么相同和不同之处？
生1：列举法是从1只鸡和15只兔开始想的，画图法是从16只全是鸡开始想的，假设法也是从假设全是鸡开始想的。
生2：我觉得画图法和假设法也能算列举法，只不过是从16只鸡、0只兔开始想的。
生3：我觉得三种方法差不多，都是先假设，再调整。
师：是的，这三种方法其实思路上是一样的，都是按照“假设―对比―调整”的路径展开。不同点在于逐一列举让我们发现了“鸡兔同笼”问题中的规律;画图法让我们明白了思考的过程和依据;假设法是特殊的列举法，通过极端特例提升了解决问题的效率。
通过组织学生比较和反思，在关注三种方法的异同点的同时，追溯每种方法的思考起点，以立体化的模型建构起解决“鸡兔同笼”问题的思想方法。
2.3 第三课时，综合运用，融会贯通
练习课是新授课的补充和升华。本单元的第一课时重在教学列举法，第二课时重在教学假设法，第三课时重在进一步综合理解不同方法，并引导学生根据不同情境自主选择合适的方法解决问题，提升学生的思维能力。
练习课的功能之一是帮助学生巩固基本知识和方法。通过前两课时的学习，学生已经初步掌握了列举法、假设法等方法，本课时第一层次是引导学生复习巩固学过的方法。课程一开始，教师出示“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数有36条腿，鸡和兔各有几只？学生自主选择方法解决问题，同时展示不同方法，相互之间进行沟通交流。直观图是思维的支架，算式是思维的一种再现方式，而语言则是思维的外衣，用语言描述不同方法的过程，就是理解不同方法的过程，可以培养学生的思维品质。
对于学生来说，没有最好的方法，只有最适合的方法。一方面，面对不同的问题应采用不同的方法，有的问题用假设法来解决更简单，有的问题用列举法来解决更容易找到规律。另一方面，思维能力弱的学生可能只会用列举法，思维能力强的学生喜欢用假设法。教学中，教师要给予学生足够的空间，允许学生选择自己喜欢的方法解决问题，在此基础上，引导学生根据不同的情境选择合适的方法进行思考。
综上所述，“鸡兔同笼”作为一道有着悠久历史的数学问题，也是不同版本的小学数学教材的保留内容，可见它在数学教学中的重要价值。教师在教学中可以利用这道题让学生掌握多种解题技巧，同时激发学生进一步探究问题的积极性，从而提升学生解决数学问题的能力。
【参考文献】
[1]牛献礼.沟通联系 突出思想――“鸡兔同笼”问题的教学思考与实践[J].小学教学研究，2018（3）.
【作者简介】
卢兆静（1992～），女，汉族，江苏南京人，本科，小学一级教师。研究方向：小学数学教学。
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