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例谈“特殊与一般”思想在初中数学教学和解题中的应用*

来源:用户上传      作者:李硕 何意玲 王海涛

  【摘 要】数学思想方法的应用是学生数学学科核心素养生成的主要表现。“特殊与一般”思想包含特殊化与一般化两个方面,在数学教学中占据重要地位,也是数学解题常用的方法与手段。文章结合两个数学例题,探究在数学解题中如何借助“特殊与一般”思想加深学生对数学知识的理解,使学生的逻辑推理核心素养得以提升。
  【关键词】“特殊与一般”;数学思想;数学解题
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2022)24-0087-03
  新颁布的《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确提出以数学的“三会”(即会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界)作为义务教育阶段数学课程教学目标,延续了我国数学课程标准的“四基”元素,使得学生数学学科核心素养的培养具有整体性、一般性和阶段性的特点[1]。对此,初中数学教师要将学生数学学科核心素养的培养作为出发点和落脚点,而具有数学基本特征的思维品质是数学学科核心素养的主要表现。所以,教师在课堂教学过程中逐步渗透数学思想方法既可以提高学生的数学思维能力,也是培养学生数学学科核心素养的重要途径。
  1 目前数学思想方法教学中存在的问题
  首先,许多教师在数学课程教学中一直注重数学基础知识和基本技能的传授,很少以数学思想方法为教学内容,同时,教师在教学过程中对数学思想方法的渗透不到位,其原因就是教师对数学思想方法的教学不够重视。随着课程标准的变化和教学理念的变革,数学思想方法教学的重要性逐渐突显,在当下追求深度学习的数学教学中,数学思想方法教学的重要性更是不言而喻。
  其次,教师对数学思想方法的理解水平和掌握程度不高,制约着其在教学过程中对数学思想方法的渗透。同时,与数学概念、公式、法则、定理和公理等数学内容相比,数学思想方法的教学需要学生具备较高水平的理解能力,这就需要学生对数学基础知识和基本技能有深刻的把握和理解,但学生对数学基础知识和基本技能的掌握程度往往不尽如人意。
  最后,目前,如何在课堂教学中渗透数学思想方法已有诸多研究,但数学思想方法教学对学生的数学学科核心素养的培养指向还需明确。
  2 “特殊与一般”思想的相关概述
  数学思维能力是数学能力的重要组成部分,逻辑思维又是数学思维的核心,培养学生的逻辑思维,最终指向的是学生的逻辑推理素养,而逻辑推理素养的核心就是“特殊与一般”的数学思想。对此,教师应在数学解题教学中引导学生理解数学的本质,感悟数学知识所蕴含的思想方法,促进学生数学学科核心素养的形成和发展。数学思想的内涵和外延都很丰富,其中“特殊与一般”思想是由数学推理的思想派生而来的[2]。
  无论是数学概念的教学,还是数学命题的教学,在教学过程中都需要教师从学生已有的现实生活经验出发,经过数学化的过程,抽象出数学概念,理清数学概念之间的关系。在数学学习的过程中,也需要学生利用“特殊与一般”的数学思想,对已有的知识经验进行抽象概括,得出一般化的结论后,再对其进行推理验证。此外,在某些特殊情况下,也需借助一般结论对特殊情况进行验证,所以“特殊与一般”的数学思想在学生的学习过程中也有着重要的作用。
  在数学解题教学中,“特殊与一般”思想占据着重要地位,主要表现在两个方面:一是“从特殊到一般”,即将数学问题所表征的一般化结论转化为在特殊情形下的数学问题表征,以此解决问题,从而推广到数学问题的一般化结论;二是“从一般到特殊”,即从数学问题所表征的一般化情形入手,从而推广到数学问题的特殊情形,以此解决数学问题。在数学解题中,无论在命题的证明还是试题的解答中,“从特殊到一般”的数学思想都可以在数学解题中抽象出一般化的结论,而“从一般到特殊”的数学思想则可以检验一般化结论的正确性。故此,“特殊与一般”思想的两个方面不仅可以帮助学生解决数学问题,其严密的逻辑也可以帮助学生形成逻辑推理素养,在数学解题过程中发挥着不可或缺的作用[3]。
  无论是学生的学习还是教师的数学解题教学过程中,“特殊与一般”思想的应用无处不在,所以需要引起师生双方的重视。下面笔者通过两道数学题,以“特殊与一般”思想作为解题思路,探讨这一思想在数学解题过程中的应用。
  3 “特殊与一般”思想在数学教学和解题中的应用
  3.1 从特殊到一般
  数列通项公式的求解问题从代数角度出发进行解决,通常要对题设条件进行充分的分析,利用公式或者待定系数法求解。以下例题给出了数列的前两项以及an和前后两项的关系,可以通过“猜想―验证”的解题思路解决这一问题。
  例1:设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,求数列{an}的通项公式。
  分析:针对求解数列通项公式这类问题,从题设条件出发进行代数式运算从而得出结论比较困难。因此,在解题过程中可以用特殊值代入求解,通过在特殊情形下的题结论,推测数列一般式的基本规律,再通过证明得到答案。
  第一步,先分别令n=2,3,4。可以发现:当n=2时,4a2=a1+3a3,解得a3=;同理当n=3时,可以得到a4=4;当n=4时,a5=。
  通过对三个特殊结果的构造,可以发现,,,由此猜测。这是由特殊结果所产生的猜想,而猜想的正确性还需要对一般化结论进行验证。
  此道例题的求解过程,从特殊情形入手得到问题的特殊结论,体现了“从特殊到一般”的思想,并将问题的特殊结论作为问题一般化结论的猜想,在此基础上去验证问题的一般化结论。从例1的解题过程中可以得到应用“从特殊到一般”思想求解的启示:可以先考虑特殊情形下问题的特殊结论,如取特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等,在问题的特殊情形中进行问题结论的归纳总结,再对归纳总结的结论进行验证[4]。

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  3.2 从一般到特殊
  基本不等式的应用非常广泛,是在学习完不等式性质之后学习的一类特殊不等式。以下例题从题设条件中两数的关系入手,将问题转化为基本不等式问题的求解,体现了“从一般到特殊”的思想。
  例2:求证1999!<10001999。
  分析:此题是比较两数的大小,问题结构相对简单。不等式左右两端所得的结果较大,直接求解再比较大小显然不是正确的解题思路。解决问题的关键在于找到题设条件中两数之间的关系,不难发现,如果将两数表达成为同一个数值,问题就会迎刃而解。首先令1999=n,则原来的问题可以转化为一般化的结论。
  在例2的求解过程中,将问题的特殊情形转化为一般情形,得出一般情形下的数学问题结论,再对问题的特殊结论进行验证,体现了“从一般到特殊”的思想。从解题过程中可以得到应用“从一般到特殊”的思想求解的启示:首先将问题的特殊情形转化为一般情形,探讨问题的一般性结论,再通过一般性结论验证问题的特殊结论[5]。
  “特殊与一般”的数学思想是指导数学解题的重要思想方法。本文通过两道例题,展现“特殊与一般”数学思想的两个方面的内涵及应用,其中,“从特殊到一般”强调从猜想出发去获得问题结论,这也是大多数自然科学理论的发生过程;“从一般到特殊”强调将问题从特殊推向一般去获得结论,再去验证特殊性。在初中数学教学过程中,教师要以数学知识内容为依托,引导学生挖掘数学知识背后蕴含的“特殊与一般”思想,这样可以帮助学生理解数学知识内容的本质,体会“特殊与一般”思想的奥妙,进而更有效地培养学生的逻辑推理素养。因此,无论是数学知识的学习还是习题的讲解,教师都应当注重数学思想方法的教学,使学生将“特殊与一般”的数学思想有效内化,进而在学习新知、解决问题时灵活运用。
  【参考文献】
  [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2022.
  [2]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报,2012(1).
  [3]陈朝东,卢英,蒲秀琴.数学解题中“特殊与一般”关系的体现[J].教苑新秀,2012(8).
  [4]鲍聪晓.巧用“特殊与一般”引领思维突破[J].中学数学教学参考,2018(26).
  [5]林振德.巧用“特殊与一般思想”进行初三数学客观题解法教学[J].数理化解题研究,2020(2).
  【作者简介】
  李硕(1975~),男,回族,甘肃天水人,博士,教授。研究方向:数学课程与教学论、运筹学及算法、数学模型等。
  何意玲(1997~),女,汉族,浙江宁波人,硕士。研究方向:数学学科教学。
  Exploration into "Special and General" Thought in Junior Middle School Mathematics Teaching and Problem Solving*
  Shuo Li, Yiling He, Haitao Wang
  (School of Mathematics and Data Science, Changji University, Changji, Xinjiang, 831100)
  Abstract:The application of mathematical thinking methods is the main manifestation of the generation of students' core literacy in mathematics. The thought of "special and general" includes two aspects: specialization and generalization which plays an important role in the mathematics teaching and is also a common method and means of solving mathematical problems. Combined with two mathematical examples, this paper explores how to deepen students' understanding of the mathematical knowledge with the help of the thought of "special and general" in mathematical problem solving, so that students' core literacy of logical reasoning can be improved.
  Key words:junior high school mathematics; thought of "special and general"; mathematical problem solving
  【通作者】
  王海涛(1996~),男,汉族,甘肃天水人,硕士,助教。研究方向:数学课程与教学论。
  *基金项目:本文系新疆维吾尔自治区一流本科专业―昌吉学院“数学与应用数学”(新教函[2020]61号)阶段性成果;新疆生产建设兵团第六师教学研究和师资培训中心课题“初中数学课堂教学‘引・探・导・测’教学模式研究”(项目编号:LSKTJX2019056)阶段性成果;新疆维吾尔自治区普通高等学校人文社会科学重点研究基地(培育)“昌吉学院新疆基础教育质量提升研究中心项目”阶段性成果。

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