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初中数学几何证明题解题技巧探析

来源:用户上传      作者:卢小强

  【摘 要】平面几何是初中数学的重要组成部分,几何证明题在数学学习中属于重点和难点内容,为了帮助学生充分掌握几何证明题的解题思路,形成缜密的数学思维,文章以几何证明题的特征为切入点,探索初中数学几何证明题的解题思路,并通过举例的方式具体分析解题技巧。
  【关键词】初中数学;几何证明题;解题技巧
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2022)24-0060-03
  几何题的推理论证属于平面几何学的重要组成部分,该部分的教学可以有效培养学生的逻辑推理、语言组织及空间想象能力。几何证明题主要由判断几何图空间位置关系与论证图形线段或角与角之间的数量关系这两种题型构成,两种题型既相互独立,又可以进行相互转换与结合。
  1 初中数学几何证明题的一般结构
  几何证明题由两个主要部分组成,一是已知条件,二是求证目标,已知条件是重要的基础,求证目标为最终目标。初中数学几何证明题的解题就是指在已知条件的基础上结合所学的数学理论,以求证目标为任务展开推理与分析。就一般结构而言,几何证明题与初中数学其他教学内容具有明显的异同性[1]。
  2 影响初中数学几何教学有效性的因素
  教育是一项非常繁琐的工作,涵盖了非常多的要素,涉及范围广泛,教育者、受教育者和教育影响是教育的几个重要内容,其中,教育影响指的是教育方法和外部环境等带来的影响。教育是否可以有效开展离不开以上几点要素,教师、学生、校园环境是影响初中数学几何教学质量和水平的主要因素。
  2.1 教师
  经研究证实,教师的教学理念和知识水平会在授课中体现得淋漓尽致,教师的思考方式和解题习惯会在潜移默化中影响学生,所以为了确保几何教学活动的顺利开展,要格外关注几何教学中教师的综合素质。教师只有在经过专业的培训后,并树立正确的教育理念,才能开展相关教学工作。
  2.2 学生
  学生是教学活动的重要组成部分,在新课程改革的背景下,学生的主体地位有所提高。当今社会,学生对于知识的学习是由多方面要素共同作用的,除了强调学生的学习兴趣以及学习主观能动性,观察能力、创造能力和实践能力等要素也非常关键[2]。
  2.3 校园环境
  校园环境是学校生活的重要支撑点,其包括两个重要层次,即教育场地和外部环境。教学活动通常要求在不同的场所完成,良好的周围环境往往能够使人在思想上产生共鸣,有利于教师和学生之间的沟通与交流,从而保证教学质量。
  3 初中数学几何教学的三点思路
  几何教学是初中数学教学中非常重要的组成部分,涉及对学生空间想象能力与逻辑推理能力的培养。新课程改革后,为了提高几何教学质量,教师需要理清以下三点基本思路。
  3.1 增强三种语言间的转换意识
  几何教学过程中通常采用D形语言、文字语言以及符号语言这三种表达方式,几何教学的目标就是培养学生对这三种几何表达方式进行转换和构建的能力。通过几何教学提升学生的逻辑水平是一个缓慢的过程,教师需引导学生掌握这三种语言的同时学会解题技巧,增强这三种语言间的转换意识,强化语言转换能力。不仅如此,教师在教学过程中还要尽可能地使教学语言和课本使用语言保持一致,发挥示范引领作用。
  3.2 已知条件用符号表示
  教师可以借助不同的符号来表示已知条件,这样能够使学生对已知条件有更直观的认知[3]。几何教学过程中,很多学生会在看图时忘记题目中的已知条件,产生“图题分家”的现象,为了避免这一现象的发生,利用不同的符号对已知条件进行标记是最为有效的办法,通过这种方式能够改善“看图忘条件”的这一问题。
  3.3 分析过程综合化
  在解决几何问题时,使用得最多的方法就是综合法和分析法,综合法就是根据已知的条件、定理、公理,经过严密的推理,推出要证明的结论,其显著的特征是“由因导果”。通常情况下,在解决比较简单的几何证明问题时,只依靠分析法或者综合法就可以推理出结论,但当题目较为复杂时,就要将分析法和综合法进行有机结合。
  4 几何证明题的具体解题技巧
  4.1 引导学生认真审题
  审题是解题的第一步也是至关重要的一步。审题就是阅读、理解题目中所涉及的已知条件,明确题目所要求证的结论,这是正确解题的重要前提。一些学生在解题之前,通常走马观花地阅读题目,以为看一眼题目知道要证明的目标即可,这种心理往往就是导致学生出现重大解题失误的原因,有的学生做到最后一步时才发现自己在答非所问,这对于整体的解题速度与准确率都会造成极大的影响。因此,数学教师教学几何证明题时应反复强调审题的重要性,提高学生对于审题重要性的认识[4]。
  以下题为例:如图1所示,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CF,求证DE=DF。部分学生简单阅读题目后会理解为这道题目要证明的是∠EDF是直角,结合已知条件飞快写下证明过程,但等到证明结束时才发现最终求证的是其他结论,但好在二者之间存在一定的关联,学生通过删减证明∠EDF为直角的部分解题步骤,即可得出证明ΔAED与ΔCFD全等的结果,从而证得DE=DF,但删减后必然会使答题面显得十分混乱。因此在教学几何证明题的过程中,教师一定要引导学生学会审题,理解题意,这样在解题时才会达到事半功倍的效果。
  4.2 合理分析题目中的条件
  几何证明题的解题核心步骤是耐心细致地分析已知条件,利用所学数学知识解决所求证的问题。这需要学生熟练掌握数学公式,有效结合已知条件与数学公式,循序渐进地推出结论。以下题为例:如图2所示,AB=DC,AC=DB,AC与DB相交于点M,求证ΔABC与ΔDCB全等。在该题中,AB=DC,AC=DB为有效条件,而点M的存在为混淆条件。面对这类题目,教师一定要引导学生仔细甄别已知条件,迅速筛除无用条件,找出其中的隐藏条件,从而提升解题正确率。

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  4.3 引导学生多进行记录、记忆
  为了提高几何证明题的解题效率,在教学过程中,教师要引导学生多记笔记,把重要的知识点、疑点问题都写下来,这样才可以帮助其记忆。“好记性不如烂笔头”,对于几何证明题,学生在读题时可利用符号语言进行标注,这样在阅读完题目后,学生可脱离题干,仅通过符号得出大致解题思路。这种方式不仅能够有效节约做题时间,提高做题效率,还能够加强学生记忆。同时,教师还要通过正确的方法提升学生的记忆力。很多学生在解答证明题时存在困难,这是因为没有掌握正确的证明方法,对于概念和公式的记忆不够深刻,教师可以组织学生通过比赛的形式加深对概念和公式的记忆,使学生牢记各种证明题的证明方法,这样的方式也有利于激发他们的学习热情,促进其解题能力的提升。
  4.4 挖掘隐含条件
  几何题目中的已知条件是分析和解题的依据,但很多题目中往往还蕴藏着隐含条件,隐含条件是指题目中虽给出但不明显,或没有给出但隐含在题意中的某些条件。对此,在解题过程中,教师要引导学生充分挖掘这些隐含条件,或做好条件的转化,化隐为显;或根据题设把隐含在题意中的条件挖掘出来,化未知为已知,从中找到内在联系,这样能避免因忽视隐含条件而造成错解或解答不完整甚至造成解题困难。学生若能在解题中及时发现隐含条件并充分利用,不仅能迅速找到解题的突破口,还能简化过程,减少运算的繁杂性。
  4.5 总结解题思路,攻克同类型题目
  4.5.1 基本图形
  基本图形是体现概念与定理的图形,在几何解题中起到协助学生探索复杂几何题目的解题思路以及帮助学生快速准确添加辅助线的作用。教师应指导学生牢记基本图形的特征与概念,快速从复杂图形中剥离基本图形,让学生对基本图形形成条件反射,从而提升学生的解题速度。
  4.5.2 辅助线
  当遇到较复杂的几何证明题时,可以通过增加辅助线来很好地解决难题,把复杂的问题简单化,根据“相对集中、画图结构、彰显特殊”的基本要求添加辅助线,使得杂乱无章的图形看起来更加有迹可循,将复杂的图形通过添加辅助线后分割成多个简单的基础图形,从而更好地解决问题。辅助线可以把问题中的已知条件和要证明的结论连接起来,在几何证明题中怎样增加辅助线是解决问题的关键。学生要在解题过程中正确添加辅助线,就需要仔细读题,认真观察图形,同时还要熟悉定理和基本图形的有关性质。
  以下题为例:在ABC中,AD是BC边上的中线,E为AC边上的任意一点,BE交AD于O,探究:①当,则等于多少;②当,则等于多少;③当,则等于多少(n为正整数)。
  方法一:过D作DF∥BE交AC于F,如图3,构造“A”型相似。
  方法二:过A作AF∥BC交BE的延长线于F,如图4,构造“Z”型相似。
  点评:该题目的证明方法不止两种,但整合分析各种解题方法及共同点在于解题的核心思路是利用辅助线迁移比值,最终得出结论。从图形变化上来看,辅助线的添加貌似增添了图案的复杂度,但实则有利于将几何题目化繁为简,可以帮助学生快速理清解题思路。
  因此,初中数学教师在几何题教学中要引导学生善于添加辅助线,并通过仔细观察将几何知识点进行串联,从现有条件或隐含条件出发,推出最终结论。通过添加辅助线创建过渡条件,可以将几何题干中的复杂问题转变为学生更加熟悉的简单问题,将题目中看似相互独立的元素进行连接,从而有效地解答几何题。
  4.6 建立逆向思维,得出最佳答案
  在解决几何证明题的过程中,教师要引导学生学会逆向思考问题,当根据正常的解法难以求证结果时,可以通过逆向思维尝试解决问题,若发现结果和命题相互矛盾,就说明证明结论不成立。
  以下题为例:如图5,已知AB、CD是圆O内非直径的两弦,求证AB与CD不能互相平分。
  证明:设AB、CD交于点P,连接OP。
  假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP。
  ∵AB、CD是⊙O内非直径的两弦,
  ∴OP⊥AB,OP⊥CD。
  这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,所以假设不成立,因此AB与CD不能互相平分。
  对于这样的证明题,学生一时之间无法正确找到解题方法,便可以尝试采用逆向思维来解决。几何解题过程中,使用逆向思维不仅能够提升解题效率,还有利于培养学生的数学思维能力以及良好的综合素养。
  初中数学几何知识的学习是为以后的学习打基础的,只有把基础学扎实,后面的知识才能学得更好。而初中缀蔚难习方法多种多样,教师要引导学生不断积累经验,总结方法,掌握解题技巧,学好几何知识。
  【参考文献】
  [1]王玉瑞.例析相似三角形在几何证明题中的妙用[J].中学数学教学参考,2022(9).
  [2]陶明.数形结合解决几何证明题[J].中学生数学,2022(4).
  [3]孙媛媛,刘洪超.一道几何证明题的多种解法与教学启示[J].初中数学教与学,2022(2).
  [4]张秋菊.初中几何证明题复习题型设置初探[J].中学教学参考,2022(2).
  【作者简介】
  卢小强(1980~),男,汉族,甘肃临潭人,本科,高级教师。研究方向:教学理论和中学数学教学。

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