以新工科为导向的高等数学教学实践与研究
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作者:谢溪庄 陈梅香
摘 要：新工科的建设对高等数学的教学体系、知识及应用提出更高的要求。针对新工科建设的实际需求以及传统高等数学教学过程中存在的问题，结合学生的知识结构、学习能力及专业特点，该文提出以新工科为导向的高等数学课堂教学模式的基本理念和实施方案并付诸实践，为公共基础课程的改革提供可参考的思路。
关键词：高等数学;微积分;新工科;课堂教学;改革
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2022）29-0080-04
Abstract： The construction of new engineering subjects needs higher requirements for teaching system， teaching contents and applications of advanced mathematics. In order to satisfy the actual demands of the construction of new engineering subjects， we summarize the experiences in the process of traditional advanced mathematics teaching. Together with students' knowledge structure， learning ability and professional characteristics， the main aim of this paper is to propose the basic concept and implementation scheme of advanced mathematics teaching guided by new engineering subject. Meanwhile， we put them into practice， which provides a reference idea for the reform of public basic subject.
Keywords： Advanced Mathematics; Calculus; new engineering subject; classroom teaching; reform
2017年4月8日，教育部在天津大学召开新工科建设研讨会，会议提出加强产业发展对工程科技人才需求的调研;做好增量优化、存量调整，主动谋划新兴工科专业建设;大力发展新产业相关的新兴工科专业和特色专业集群，更新改造传统学科专业;推动现有工科交叉复合、工科与其他学科交叉融合、应用理科向工科延伸，孕育形成新兴交叉学科专业。在此背景下，很多高校都积极谋划和参与新工科建设[1]。以华侨大学（以下简称我校）为例，作为中央统战部直属的高校之一，具有很强的理工类学科优势，学校高度重视新工科建设工作，将新的工科专业申报与传统工科专业改革相结合，积极落实工程教育新理念、新标准和新模式，更有两个项目通过首批国家级新工科研究与实践项目结题验收。随着我校越来越多的学科和专业加入新工科建设行列，作为理工科专业（非数学专业）的重要基础课程高等数学，不仅要为学生提供后续理工科专业所必需的基础数学知识，更要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，综合运用数学方法分析、解决问题的创新能力，从而形成基本的科学素养，满足新工科对人才培养所需的基本素质。通过多年来对高等数学课教学过程发现的问题进行思考与总结，以新工科为导向，以培养学生扎实的数学基础、实践应用能力和创新思维为目标，并结合我校理工类学生的知识结构、学习能力及专业特点，我们对教学理念、教学内容和教学方式都做了相应的升级改造，并在教学过程中予以实施，得到了良好的效果。
一、传统课堂教学上的思考
新工科是以互联网和工业智能为核心的工程技术人才优化创新培养体系，包括一些新建的大数据、云计算和人工智能等新工科专业与一些传统工科专业的升级改造。新工科的建设不仅对高等数学的教学内容提出了新的要求，还对数学理论知识的实践应用提出了更高的要求，同时新工科建设是高等教育应对国家创新驱动发展的改革行动计划，其所培养的人才应该具有较强的解决实际问题的能力和创新能力[2]。然而，通过多年来高等数学课程的教学实践过程，我们深深地发现传统的课堂教学方式和教学形式不能很好地满足新工科建设对人才的培养要求，主要表现在以下几个方面。
（一）教W内容
很多高校都是选用《高等数学》作为非数学专业学生系统学习微积分的教材，但这类教材很多时候更加强调知识的系统性、条理性和严谨性，侧重于理论分析和形式化的表达，缺乏数学语言的转化和应用。很多案例都比较陈旧、单一，与新工科专业的应用结合不够紧密，忽视了数学建模能力和实际问题的分析、解决能力的培养。
（二）教学方式
以教师为中心、忽视学生的主体地位[3]。在课堂上，很多时候都是不讲发明只讲证明，不讲原理只讲定理;重知识体系学习，轻实践应用能力培养，而有些教师又过度地依赖于多媒体的授课方式，未有足够的时间给予学生思考、理解、消化和吸收;忽视了学生发散性思维和创新能力的培养。
（三）学生的学习兴趣和积极性
高等数学内容丰富、概念多、定理多、公式多、理论性强和知识体系环环相扣，很多同学认为高数太难，望而却步，有种“恐高症”的感觉。这是因为在以往的初等数学训练中，更多的是关于解题技巧的训练，缺乏思维的逻辑性、严谨性及抽象性;对老师依赖较大，习惯了中学期间重复性的做题、训练和教师讲解，进而完成对知识点的理解和掌握;缺乏主动学习和独立学习能力。
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二、课堂教学新模式的探索与实践
（一）提高学生的逻辑思维、发散思维和归纳、总结能力
（1）充分利用信息技术手段制作动态多媒体课件结合板书讲解，将抽象思维与形象思维相结合。高等数学中的基本概念、基本公式和基本定理大多来源于实际生活中的具体实例，再经过分析、总结，最后用数学语言描述形成数学理论，所以很多理论知识都具有很强的抽象性。在教学过程中，结合我校学生的学习能力和水平，我们制作了完整的动态多媒体课件，并结合板书将抽象的理论知识用通俗的语言和直观的模型呈现出来，帮助学生理解、消化和吸收。通过重复性地从抽象到形象再到抽象的思维训练，来逐渐提升学生的数学思维能力。例如，在定积分、二重积分、曲线积分和曲面积分等积分定义中，借助动态课件和多媒体设备，将无限细分的过程以动态效果清晰展现，让学生直观地感受和理解“分割”“近似”“求和”“取极限”的四个演化过程，进而将这种无限细分、无限求和和无限逼近的思想和方法深深地印在他们的脑海中;通过多媒体动态课件，展示正弦函数和余弦函数的叠加过程及叠加个数对叠加图形的影响，直观地理解傅里叶级数的一般形式，启发学生自主思考，锻炼逻辑思维能力，帮助学生深刻理解傅里叶级数的概念。
（2）引导学生进行类比、归纳和总结。高等数学中的许多知识点是具有相似性的，适时地引导学生对所学知识进行类比和总结，既帮助了学生复习和熟练掌握旧知识，还可以让学生更好地理解和接受新知识，从而培养学生利用类比思维、发散思维进行知识总结和融会贯通的能力，很好地克服了学生对高等数学内容多、概念多、定理多和公式多的恐惧，进而降低学生学习的难度，达到事半功倍的效果。例如，在学习积分学之后，我们可以利用积分的物理意义来解释定积分，并可类似地推广到二重积分以及三重积分，具体如下。
定积分：以被积函数为密度，平行于坐标轴的直线质量。
二重积分：以被积函数为密度，坐标面上平面薄片的质量。
三重积分：以被积函数为密度，空间立体的质量。
因而，由线的质量积分得到面的质量，由面的质量积分得到立体的质量，并结合动画演示，让学生充分理解二重积分化为二次积分，三重积分化为三次积分的求解过程，并意识到其本质是一致的，也为曲线积分和曲面积分的学习奠定了基础。
（二）数学建模思想融合于教学过程，提高学生的实践应用能力
（1）数学建模是用数学的语言、方法和工具表述、分析和求解现实世界中的实际问题，并将最终所得的结果回归实际，有效地回答了原先的问题[4]。随着计算机技术的发展，数学建模迅速地进入了自然科学和社会科学的各个领域，其是联系数学与应用的重要桥梁。将数学建模引入到微积分，为高等数学与外部世界的联系提供了一种更有效的方式[5]。让学生学习和掌握数学是如何从实际问题中提炼出来，是如何应用于实际问题的，将会⒌涎生们的数学心智，促使他们在数学知识、数学能力和科学素养三个方面迅速成长。例如，在经济领域方面， 借助导数这一工具，可以很容易地给出使具体收益问题成本最低、利润最大的合理方案;在气象学中，可以用方向导数及梯度来解释各个地区气温的变化，风速的大小及台风路径的预测;在医学上，经常用微分方程来刻画药物在人体内的分布情况，比如可以使用不同的一阶的常系数线性微分方程来分别描述快速静脉注射、恒速静脉点滴和口服药或肌注时药物浓度的变化规律，通过求解对应的微分方程计算出这三种情况下体内血药浓度的变化曲线，进一步地得出快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况;口服、肌注和静脉点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，帮助医生根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案，这一应用可以很好地帮助学生理解和掌握线性微分方程的求解方法及如何将微分方程应用于实际问题、解决实际问题;在建筑领域，建筑结构大师菲力克斯・坎德拉将双曲抛物面（亦称马鞍面）应用到建筑设计中。通过多媒体课件带领学生欣赏由马鞍面所形成的飘逸屋面，比如一个马鞍面的帕尔米拉教堂，三个马鞍面的圣维特生・得・保罗教堂，四个马鞍面的霍奇米洛克餐厅，多个马鞍面的米拉格洛萨教堂等等，让学生了解到这些建筑作品充分利用了马鞍面的优点，既能巧妙地处理内部的压力和张力使结构异常稳固，还可以以很小的厚度实现较大的强度。此外，马鞍面还具有直纹性，兼具美感和灵动性，可以让学生领略数学图形之美。通过这些例子的讲解，让学生掌握建立简单数学模型的能力，拓宽学生的数学应用思维，进而获得利用数学知识解决实际问题的成就感。同时也让学生看到数学与自然科学和社会科学的相互联系，带给学生崭新的视角――数学就在我们身边。
（2）借助数学软件，引导学生构建数学问题的直观模型。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用平面形式或空间形式特别是图形分析研究对象的性质和变化规律。Matlab、Mathematica和Maple等数学软件在数学理论知识的可视化方面及直观模型的构建方面扮演着很重要的角色[6]。适时地采用数学软件进行分析、求解和作图，并结合多媒体、数学模型等多种资源，构建数学问题的直观模型，将一些数学概念、数学定理和实际问题的求解通过可视化呈现出来，可以帮助学生从感官上获得认知，内化为对实际问题的理性思考。例如，在讲解曲率时，可以借助Matlab编程显示的动画，直观感受摆线的形成过程和曲率的变化情况，同时可以观察曲率中心的运动，引导学生思考如何用公式表示曲率中心;在讲解由参数方程确定的函数的导数时，可以通过繁花曲线的导入先来介绍日常生活中由参数方程所确定的函数。对于复杂的繁花曲线，借助Matlab软件编程，可以很容易地模拟繁花曲线的形成过程，即通过两个半径不同的大小圆的相切运动，画出小圆边界点的轨迹，得到不同的繁花曲线。以大圆圆心为原点建立直角坐标系，便可确定这类繁花曲线的参数方程，引导学生思考通过参数方程能发现曲线的什么特点。再逐渐引入参数方程的求导方法，最后探索繁花的变化规律。特别地，对于参数方程中不好理解的星形线，通过播放公交车门的开门视频展示星形线在公交车车门上的应用，结合Matlab编程动态展示出不同的打开方式对应着不同的占地面积，引导学生思考利用星形线的性质设计的门的优势;在分析变量可分离微分方程之前，可以借助Matlab编程来模拟小球在两点之间的下凹曲线上的运动情况，再利用物理知识和几何关系，建立曲线所满足的微分方程，引导学生思考、探索沿着哪一条曲线下滑的时间最短，这便是历史上有名的最速降线问题。这些都将帮助学生从复杂的数学理论的理解转化为对直观模型的理解，引导他们如何综合利用数学理论知识、数学软件和信息技术分析和解决实际问题，提高他们的实践能力和创新能力。
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（三）丰富课堂教学内容，提高主动学习能力
（1）在课堂教学中，通过实际案例，设置悬念，创设问题情境，引导学生与老师互动，让学生参与到知识点的分析与求解中来，激发学生的学习热情和兴趣。适时地提问、点拨、引导和启发，营造宽松、和谐和积极的学习和讨论环境，让学生在课堂中动起脑、动起嘴和动起手，进而活跃他们的思维，开阔他们的视野，增强他们的创造力。
（2）从几何、物理、生物、化学和日常生活中挖掘与高等数学知识点相关的素材，将概念定理、理论知识附着在具体实例中，唤起学生的学习热情。高等数学中有一些问题堪比悬疑小说更加有意思和烧脑，例如莫比乌斯带、惠更斯摆钟、康托尔集和芝诺悖论等等。在相关知识点中引入这些有趣的例子，不仅可以帮助他们学习理解，还可以营造轻松有趣的课堂气氛，引导学生思考这些例子背后的数学原理，让学生带着具体的背景知识进入理论知识的学习，激发学生的学习兴趣。
（3）将数学理论的最新进展和应用引入到课堂教学中，吸引学生的注意，激发学生的探索精神。同时，还能引导学生自主查阅文献，集体讨论，提升学生的自主学习和团队合作能力。高等数学的主要内容微积分已经发展了四百多年，其中的很多理论已经得到了极大的发展，将最新的理论应用进展和实例引入课堂，既可以满足学生的好奇心，还可以驱动学生查阅相关文献，体验数学的应用之美，获得自主学习的成就感，让学生逐步从“被动学习”到“主动学习”再到“独立学习”的角色转换。例如，在极限的拓展部分引入分形的介绍;在极值中引入飞行器模拟设计中的应用;在泰勒公式中引入最佳逼近问题;在非线性微分方程中引入混沌现象和深层神经网络构架设计方面的应用;在讲授完向量的数量积后，适时地介绍Google推出的新闻服务。这种新闻服务与传统媒体的做法不同，而是由计算机自动整理、分类和聚合各个新闻网站的内容，并不需要人为的干预。其中，关键技术就是新闻的自动分类，核心思想便是将一篇新闻转换为一个向量，再利用数量积求解两向量的夹角从而确定两篇新闻的相似度，根据相似度再来进行详细分类。进一步地，还可介绍网页和网页查询的相关性分析，并推荐相关书籍和文献让学生自主查阅、做更深入的了解，这些都将从多角度、多维度、多方面给学生展现高等数学的强大应用，激发他们的学习欲望。
（4）分享高等数学的发展史和数学家的故事，消除课堂教学上的疲倦感。例如，高等数学中出现大量的数学符号和较为形式化、抽象化的定义概念，对于初学者来说甚是不好理解。为了让学生理解、亲近并熟练使用这些符号，在开学的第一堂课我们不仅详细地介绍了这些符号背后的故事和书写方法，还介绍了我国和西方微积分的思想萌芽，以及整个微积分的发展历程，同时将微积分的基本思想和基本内容渗透到微积分的发展史中。在教学过程中，我们还经常穿插重要定理背后的数学家故事，这不仅让学生对数学概念和数学定理有着更深刻的理解，还能很有效地缓解学生听课的疲倦感，提高学生的学习效率。例如，在证明完第二个重要极限的存在性和极限值为e之后，可以借助Matlab工具来动态的展示O限值的变化过程，并进一步地介绍历史上研究过e的数学家的故事及如何计算房贷利率和银行存款的利率;从日常生活中常见的花瓣、松子中的螺纹和向日葵中的螺纹观察斐波那契数列，介绍斐波那契数列背后的发展历史，并逐步引入幂级数的展开，激发学生的学习兴趣。
（四）应用混合式教学辅导模式，扎实打好数学基础
（1）借助学习通、QQ群等平台，密切关注学生的学习情况。利用线上作业平台，例如通过学习通布置课堂练习和课后作业，帮助学生及时巩固新学的知识点。借助平台的及时批改和成绩发布功能，从每道题目的得分情况逐一去发现、了解学生的学习情况及对知识点的掌握程度，方便在复习讲解时有所侧重并敦促落后的学生及时赶上。借助线上作业平台还可以让学生之间互相批改作业，让学生当老师，既可以巩固和提升学生自身的知识水平，还可以让学生从别人的错误中吸取经验。
（2）周末线下辅导答疑，日常线上答题。学生在学习过程中，难免会遇到难以理解、困惑的知识点和内容，如果没有及时得到解答会影响他们后续知识点的学习和掌握，也会很大程度上打击其的学习积极性。除了课堂上鼓励学生提出问题，及时为他们答疑解惑，我们还在周末不定期地设置了专门的答疑时间和答疑教室，通过这种线下方式的答疑不仅加强了老师与学生的互动，也让我们及时、清楚地了解到学生的学习情况。由于线下答疑时间的不灵活性，我们还借助现代信息技术，比如学习通、QQ群、微信群和腾讯会议室等等，只要学生在学习和做题过程中碰到了困难，都可以通过拍照方式上传到线上，让我们和其他同学及时获悉，从而及时回答学生的问题和困难。这些方式可以很好地帮助学生巩固和掌握所学知识，并探索新知识，从而打下扎实的数学基础。
三、结束语
高等数学作为新工科建设非常重要的基础课程，为满足新工科建设对高等数学知识的实际需求，我们通过多年来对高等数学教学经验的思考和总结，并结合我校学生的专业特点和知识结构，从培养学生具有扎实的数学理论基础、较强的实践应用能力、创新能力和解决复杂实际问题的应用能力出发，提出了一系列的解决方案，并已在教学过程中予以实施，从学生的期中和期末考试成绩来看，效果明显。同时，从课后与学生的交流，我们也发现学生很喜欢这种教学模式。但是仍然存在着一些不足，比如，由于课程总学时的限定，在介绍数学理论最新进展及应用、重要定理的背景和数学家的故事时，由于时间关系不能详细展开，只能蜻蜓点水，接下来我们将通过定期的数学科普讲座来详细地介绍这方面的内容。总之，新工科的提出更加强调了培养高素质人才的重要性。改进和发展传统的教学模式，培养学生的探索精神和创造能力，发挥学生在学习过程中的主动性和积极性，使之成为符合新工科需求的高素质人才，我们还需要不断探索和完善。
参考文献：
[1] 顾佩华.新工科建设发展与深化的思考[J].中国大学教学，2019（9）：10-14.
[2] 黄云清.基于新工科理念推进大学数学教学改革[J].中国大学教学，2020（2）：28-31.
[3] 王拉省.浅谈以创新能力为核心的高等数学教学改革[J].大学教育，2018（4）：90-92.
[4] 韩中庚.数学建模方法及其应用[M].3版.北京：高等教育出版社，2016.
[5] 杨人子，王静.数学建模思想融入高等数学的教学研究[J].大学教育，2021（3）：103-106.
[6] 李红，李厚彪，蒲和平.借助软件在《高等数学》中进行实验教学[J].实验科学与技术，2012（10）：292-295.
基金项目：福建省教育厅“2020年省级一流本科线上线下混合式一流课程”（闽教高[2020]23号）;福建省教育厅教改项目“境外生公共数学教育教学改革”（FBJG20200181）
第一作者简介：谢溪庄（1981-），男，汉族，福建泉州人，博士，讲师。研究方向为微分方程与动力系统。
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