钟面上时针与分针关于整点对称的探究
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作者:蔡少毅
[摘 要] 文章受原有的时针与分针的夹角公式的启发，推导出钟面上时针与分针关于整点对称的一般求解公式，并举例应用和比较.
[关键词] 分针;时针;整点;对称;夹角
问题提出
钟面问题中指针的角度运算是中学数学课程中的难点，近年来不少学者致力于对其进行探究（参见文[1-5]）. 公务员考试的行测题常常提出钟面问题，例如，“当5点刚过多少分时，时针与分针离‘5’的距离相等，并且在‘5’的两边？”等等. 这就是钟面上时针与分针关于整点对称的问题. 这样的问题最常见，但只能解决时针所指时间点与其对应的整点相一致（即时针位于其整点刻度线之前且夹角小于30度）的情形. 文[1]和文[2]给出了指针与对称轴（整点刻度线）的夹角为任意角的对称问题的例子，但文[1]和文[2]的例子比较特殊――文[1]中的对称轴是铅垂线（即“12”与“6”的连线），文[2]中的对称轴是水平线（即“3”与“9”的连线），解题中充分利用这些特殊情况，各自给出了利用夹角公式或建立方程式求解的不同方案. 本文受文[1]中的时针与分针的夹角公式的启发，得出钟面上时针与分针关于整点对称的一般求解公式，可以运用它解决包括文[1]和文[2]提出的任何时针与分针关于整点对称的问题，并进行了比较.
在钟面上，时间的整点刻度把钟面分成12等分，每等分为30度，时针与分针同时做旋转运动.每小时分针转过一圈为360度，时针转过十二分之一圈为30度，因此时针与分针的转速比为1∶12. 本文把时间h点m分记为h：m，并且规定：当m<0时，h：m=（h-1）：（m+60）;当m≥60时，h：m=（h+1）：（m-60）.
先介绍文[1]中的夹角公式：
公式1 设时间h：m时，分针相对于时针的夹角为θ度，则
30h-5.5m=θ ①
该公式可改写为
30h-5.5m=±θ ②
注：当时针指向钟面的刻度大于分指向钟面的刻度时取“+”，否则取“-”
例1 当5点刚过多少分时，时针与分针离“5”的距离相等，并且在“5”的两边？
解 当5点刚过时，时针指向钟面的刻度大于分针指向钟面的刻度，设两针的夹角为θ度，则处于对称位置的时针与5整点的刻度线的夹角为度. 又知每2分时针旋转1度，则m=2
=θ，把m=θ及h=5代入式②，得30×5-5.5m=m. 即m==23（分）.
答 当5点刚过23分时，时针与分针离“5”的距离相等，并且在“5”的两边.
时针与分针的对称公式
本文进一步探究时针与分针关于任意整点对称的问题，给出求解公式.
公式2 当时间为h：m时，时针与分针关于l（l=0，1，2，…，11）整点的刻度线对称，则h和m满足
m=（h=0，1，2，3，…，12） ③
证明 设l整点对应的刻度线为l，h整点对应的刻度线为h. 时针与分针关于l对称的时间是h：m，如果以h整点起（这时时针与h重合，分针与0或12整点对应的刻度线重合），两针同时旋转至各自的对称位置止. 此时，假设时针旋转θ度，而对于分针旋转的角度，就分针与时针相对位置的两种情况进行探讨：
（1）当时针位于分针之前. h与l的夹角为30（h-l）度，从而处于对称位置的时针与l的夹角为30（h-l）+θ度，由对称关系可得，处于对称位置的分针与l的夹角为-30（h-l）-θ度，又分针从0或12整点对应的刻度线旋转至l时共30l度，因此分针从0或12整点对应刻度线旋转至其对称位置时共-30（h-l）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.
（2）当时针位于分针之后. h与l的夹角为30（l-h）度，从而处于对称位置的时针与l的夹角为θ-30（l-h）度，由对称关系可得，处于对称位置的分针与l的夹角为30（l-h）-θ度，又分针从0或12整点对应的刻度线旋转至l时共30l度，因此分针从0或12整点对应的刻度线旋转至其对称位置时共30（l-h）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.
综上所述，不论分针与时针前后的相对位置如何都有：当时针与分针以h整点起，同时旋转至各自的对称位置时止，时针旋转θ度，分针旋转30（2l-h）-θ度. 由于时针与分针旋转的速度比为1∶12，则=?θ=.又知每2分时针旋转1度，即m=2θ，则公式2成立.
应用举例
例1另解：把l=5，h=5代入公式2，得m==23（分）.
例2 李警官在晚上7点多回家，看到马路上发生了一起车祸，下意识看了下手表，发现分针与时针刚好关于8点“对称”. 处理完事故已经10点多，又看了下手表，分针与时针又刚好关于7点“对称”. 请问车祸发生的具体时间是多少？李警官花了多长时间处理车祸事故？
解 把l=8，h=7代入公式2，得m==41. 车祸发生的具体时间为7：41.
把l=7，h=10代入公式2，得m==18. 处理完事故的时间为10：18.
由于9-7=2，60+18-41=36，所以李警官花了2时36分处理完事故.
例3[2] 早晨7点到晚上7点的12个小时内，（1）钟面上时针与分针第一次关于水平线（“3”与“9”的连线）对称是几点几分？（2）时针与分针有几次关于水平线对称？
解 （1）把l=9，h=7代入公式2，得m==50，即钟面上时针与分针第一次关于水平线对称的时间是7：50.
（2）把l=9，h=0，1，2，3，…，12分别代入公式2，则时针与分针有13次关于水平线对称，其时间依次为1：23，2：18，3：13，4：9，5：4，6：00， 6：55，7：50， 8：46，9：41， 10：36，11：32，12：27.
文[2]对问题（2）的解答并没有给出时针与分针13次关于水平线对称的具体时间，本文的上述解答可作为其补充.
由公式2可知，求关于位于钟面同一条中心直线两个整点中的任何一个整点对称，得到的结果均相同.本文用文[1]的例8来加以说明：
例4[1] 有一天课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，他发现时针与分针正好处在关于铅垂线对称位置，则此时是9点几分？
解 由于钟面的铅垂线是0或12整点和6整点所处的中心直线，所以分别求9点多时时针与分针关于l=0，l=12或l=6整点的刻度线对称.
①把l=0，h=10代入公式2，得m==-46，得10：-46.
②把l=12，h=8代入公式2，得m==73，得8：73.
③把l=6，h=9代入公式2，得m==13，得9：13.
对于10：-46和8：73，换算后结果均为9：13，即9点13分.
本文通过对若干文献关于钟面问题的探究，推导出了钟面问题中时针与分针关于整点对称的一般求解公式，通过举例应用以及与其他方法的比较，可见本文提出的公式更简单易记，求解更方便简洁.
参考文献：
[1] 王耀德. 钟面角的计算[J]. 数学教学通讯，2005（S7）：89-90.
[2] 沈建新. 钟表问题的分类和解决策略[J]. 数理天地（初中版），2020（10）：32-34.
[3] 谢宇灵. 钟面上的数学问题解法[J]. 福建中学数学，2021（03）：45-46.
[4] 潘秀亮. 在课题学习中渗透数学核心素养――以“钟面上的秘密”为例[J]. 福建中学数学，2022（03）：26-27.
[5] 赵生初. 应用比及比例的方法求解与时钟快慢有关的问题举例[J]. 中小学数学（初中版），2021（06）：18-20.
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