探究破解平面解析几何求解困境的教学实践
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作者:宫建红
【摘 要】探究的本质是参与和理解，其不仅可以逐步培养学生分析问题、解决问题的高阶能力，还可以在学习中逐步培养学生数学抽象、数学运算等学科核心素养。针对学生在求解平面解几问题过程中表现出的目标不明、思路不清、方法不准等问题，基于探究求解平面解析几何的问题引导、模型建构、质疑生思、统计分析、深度探究的教学路径，引导学生主动发现问题、解决问题，培养学生判断思维、逻辑思维和解决问题的能力。
【关键词】核心素养；平面解析几何；求解困境
一、问题提出
解析几何起源于古希腊数学家对圆锥曲线的研究，作为沟通初等数学与高等数学、代数与几何的桥梁，可以帮助学生形成从数学具象到数学抽象的关键能力，拓展运用数形结合思想解决问题的思维空间［1］。章建跃博士指出，在平面解析几何的教学中培养学生用运动、变化和对立统一等观点分析和解决问题，则可以让学生领会辩证法思想［2］。探究的本质是参与和理解，其不仅可以逐步培养学生分析问题、解决问题的高阶能力，还可以培养学生数学抽象、数学运算等学科核心素养。可见，平面解析几何的教学应以数形结合和辩证法为指导思想，基于探究引导学生通过系统学习平面解析几何的基础知识，学会运用代数方法研究几何问题，不断融会贯通已学知识，在解决真实问题的过程中提高综合应用数学知识的能力，不断培养学生数学学科核心素养。但在教学实践中，笔者发现，大多数学生感到平面解析几何内容较难，在平时的学习中花费的时间很多，但效果并不佳，而教师在解析几何的教学中缺少对策，复习效果差。为此，笔者对破解平面解析几何问题的求解困境进行探究。
二、教学模型构建
对破解平面解析几何问题求解困境的探究一般包括以下过程：在指导下进行有意义的思考――明确提出需探究的问题――根据已有知识和经验对问题猜测和假设――做出合乎逻辑的分析与严谨的验证――形成连贯的解答并与他人交流得出的结论――建构模型及预测――合作评估与交流［3］。学生经历以上探究过程，提高了对所学知识的深层理解和探究能力，从而将已有的解答应用于新情境。
在实践中，笔者基于上述探究教学的过程，结合对学生求解平面解析几何存在问题的分析，构建了探究平面解析几何教学的模型（如图1）。探究平面解析几何学习要以知识结构和问题结构槠鸬悖提出常见问题模型，并通过探究最终达到对平面解析几何知识的深层理解，提高求解和迁移能力。教师在教学中应做到以下几个方面：（1）基于不同题型，引导学生建构模型；（2）基于不同模型，引发学生质疑生思；（3）基于多类问题，引领学生统计分析；（4）基于精选问题，引导学生课堂探究。
【案例呈现】首先，教师以直线与圆、直线与圆锥曲线中常见求解问题为载体，设计出一些基本模型；其次，教师让学生针对不同模型，发现问题、思考问题，从而找到解决问题的基本方法；再次，教师将学生提出的问题进行统计分析、归类，寻找课堂探究的主问题；最后，在课堂教学环节，以探究为路径，学生为主体，教师适时引导。
以上教学过程循环往复，久而久之，就能帮助学生养成良好的思维习惯。其中，在课堂探究过程中，教师应始终坚持以生为本，即“目标让学生明确，问题让学生寻找，路径让学生选择，疑惑让学生讨论，过程让学生体验，方法让学生总结”，一般采取以下流程：以精选问题为起点，指导学生思考――学生主讲，展示过程――提问质疑，总结梳理――题型变式，初步探究――适时引导，深入探究――建构模型，总结提升。实践表明，学习路径与方法的改变破解了学生在平面解析几何中的求解困境，逐步培养了学生的综合应用数学知识解决复杂问题的能力，全面提升了学生数学抽象、数学运算等学科核心素养。
三、教学路径研究
（一）基于不同题型，引导学生建构模型
教师引导学生将平面解析几何的求解问题归纳为以下基本模型：①求基本量类，如求“a，b，c，p”；②求基本方程类，如求直线与圆锥曲线方程、准线与渐近线方程等；③求重要几何量类，如求离心率、焦半径、焦点（顶点）弦长、焦点（顶点）三角形面积等；④发现性质类，如与轨迹、斜率、离心率等相关的性质；⑤典型问题类，如位置关系问题、定点定值问题、内接三角形问题、极点极线问题等。
在以上问题类型的归纳过程中，为了减少随机性、盲目性，增强指令性、针对性和操作性，笔者以直线与圆锥曲线为载体（以直线与椭圆为例）归纳了6个基本类型：①直线过椭圆焦点；②直线过椭圆中心；③直线过椭圆顶点；④过椭圆上一点的切线；⑤中点弦；⑥过定点的直线。以类型①为例，给出一个椭圆C，一条经过焦点F的直线AB。为了便于观察思考，给出椭圆的准线（如图2），从这些条件出发可以生成许多问题，并得到相关结论。针对这些不同的问题和结论，教师以“一法多题”或“一题多法”让学生积累解题经验，提升思辨能力。
（二）基于不同模型，引发学生质疑生思
基于上述基本模型，教师对学生提出如下要求：①添加条件设计问题；②依据模型搜集问题；③探究方法力求多解；④顺向推广逆向思考；⑤类比推理寻找相似；⑥发散思维变式探索；⑦总结反思技巧提升。这样可激发学生发现新问题的兴趣，发现问题的来龙去脉，探索问题间的相互联系，产生新的猜想并加以验证。以下案例从求离心率的问题模型出发，让学生根据要求进行深入思考。
【案例1】设椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的左焦点和右焦点分别为F1，F2，求椭圆C的离心率。
①添加条件：P是C上的点，PF2[⊥]F1F2，[∠PF1F2=30°]，求椭圆C的离心率。
②依据求离心率的模型，广泛搜集相关问题。
③添加条件①后，学生思考多种解法，如直接法、几何法、代数法等。
④在求解后推广得出变式：椭圆上存在点P使得PF1[⊥]PF2，求椭圆C的离心率的取值范围。
⑤类比推理寻找相似问题：椭圆左焦点为F1，过原点的直线交椭圆上于A，B两点，使得AF1[⊥]BF2，求椭圆C的离心率的取值范围。
⑥进一步发散思维：已知椭圆的右顶点是A（a，0），其上存在一点P，使[∠APO=90°]，求椭圆离心率的取值范围。
⑦对求离心率问题的解法、题型的变化、基本模型等进行反思和总结。
其中，问题①②试图培养学生发现问题的能力，让学生学会提出问题。问题有难有易，解法有繁有简，但只要是经过学生思考发现的问题都是有效的。问题③主要培养学生分析问题、解决问题的能力，让学生学会分析问题的几何条件和推理隐藏的本质特征，正确、合理地把几何条件转化为适合计算的数量关系，并在转化过程中思考如何合理地设立参数以及如何便捷地消去参数，将运算求解变成看得见、摸得着、想得到、算得对的清晰过程。问题④⑤⑥试图指导学生归纳总结的能力，让学生能结合问题特征和求解方法举一反三。问题⑦主要引导学生学会反思，让学生避免就题论题，达到深刻理解的目的。学生按照上述要求，带着模型，独立思考，通过参考教材，查找资料，相互讨论，寻找与模型相似的问题，探究问题的解决方法，比较方法的相通之处，归纳方法的相似之处，寻找不同方法的使用范围，从而找到适合自己的解题方法。上述过程促进了学生高阶思维的发展，哪７绿子玫嚼斫狻⑶ㄒ啤⒅室伞⑴判甚至创造，经历了深度学习的全过程，既优化了数学学习方法，又逐步提升了思维能力以及数学建模、数学运算的核心素养。
（三）基于多类问题，引领学生统计分析
问题的结构特征典型要具有代表性，问题的本质规律清晰要具有一般性，问题的解法通用可迁移要具有融通性，问题的难度恰当要具有普适性，问题的求解训练有效要具有价值度，问题的呈现方式新颖要具有创造性。基于以上原则，教师引导学生进行统计分析，删除繁、难、偏、怪等各类问题。
【案例2】基于上文六个基本模型中的①直线过椭圆焦点，从学生提供的各类问题中，依据上述选择原则，筛选了与模型①相关的如下问题。
问题1：过F垂直于AB的直线FP交准线l于点P，证明：直线PA、PB与椭圆相切（反之亦然）。
问题2：过点A，B分别作曲线的切线，若交点Q在准线l上，证明：直线QO与弦AB垂直。
问题3：设椭圆的左顶点和右顶点分别为S，T，证明：直线SA与直线TB的交点在准线l上。
问题4：设椭圆的左顶点为N，直线NA，NB交准线l于P，Q，证明：以PQ为直径的圆经过点F。
问题5：（1）设线段MN中点为C，证明：直线OC与过F和直线MN垂直的直线的交点在准线l上。（2）OG与准线交于点P，证明：以GP为直径的圆经过点F。
问题7：设准线l与x轴的交点为H，证明：[∠AHF=∠BHF]。
问题8：若直线AB与准线交点为M，过F作垂直于x轴的直线交椭圆于P点，P点不在直线AB上，证明：kPA+kPB=2kPM。
问题9：若P为准线上任一点，直线PA，PF，PB的斜率分别是k1，k2，k3，证明：k1，k2，k3成等差数列。
问题10：设椭圆的左顶点和右顶点分别为M，N，直线AM，AN与准线分别交于P，Q两点，AB的中点为D，则直线OD与准线的交点平分PQ。
教师依据以下标准，将以上问题进行分类：①具有多种解法的问题；②具有一般规律的问题；③可以类比迁移的问题；④有利于训练思维的问题；⑤能够锻炼运算能力的问题；⑥能够说明设参、消参原理的问题。统计分析、问题归类的过程，正是由繁入简、由零碎到系统的过程，为学生的深度探究奠定基础。
（四）基于精选问题，引导学生课堂探究
问题是思维的开端，是数学的灵魂。一个精选的问题是引导学生进行课堂探究的关键。因此，课前教师应精选课堂上待探究的问题，并提前将精选问题发给学生作为作业，要求学生尽可能理解题意，找到解决问题的方法。课中让学生自主展示、同伴提问质疑、师生点评完善。这样学生才能通过课堂探究，进一步理解求解平面解析几何问题的原理，弄清求解的算理，学会梳理运算中的逻辑关系，最终收获正确的解题方法、思路、经验和规律。
【案例3】如图3，椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）经过点P[1，32]，离心率e=[12]，直线l的方程为x=4。
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。问：是否存在常数[λ]，使得k1+k2=[λk3]？若存在，求[λ]的值；若不存在，请说明理由。（本问题与上述问题7的模型相关）
【环节一】学生主讲，展示过程
师：课前同学们已经对这道题进行了思考，下面请几位同学介绍求解方法。
在课前，教师首先请学生进行思考，接着，再由三名学生介绍三种求解方法，限于篇幅此处省略。
【环节二】提问质疑，总结梳理
师：结合题目所给条件，请有疑惑的同学提出质疑，同时对以上方法进行梳理总结。
学生自由提问，教师适时点拨。
【环节三】题型变式，初步探究
师：下面请同学们以小组为单位，运用类比的方法，对该题进行更深入的探究。
生1（第1小组代表）：我们运用了特殊化的方法，发现圆是椭圆的特例，应该有类似的结论：已知圆x2+y2=R2上的一点P（t，s）（-R[<]t[<]R）（t不为0），过点Q（t，0）作直线交圆于A，B两点（异于P点），交直线l：x=[R2t]于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则存在常数[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。
生2（第2小组代表）：我们运用了类比的方法，猜想双曲线应该也有类似的结论，即过双曲线C：[x2a2-y2b2=1]（a[>]0，b[>]0）的右焦点F作x轴的垂线交椭圆上方于点P，AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与双曲线的右准线l相交于点M。记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则存在常数[λ]使得k1+k2=[λk3]恒成立。
生3（第3小组代表）：我们也是运用了类比的方法，猜想抛物线应该也有类似的结论，即过抛物线y2=2px（p[>]0）的焦点F作FP[⊥]x轴交抛物线上方于点P，AB是经过焦点F的任一条弦（不经过点P），直线AB交准线l于点M。设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则存在常[λ]使得k1+k2=[λk3]。
在学生分享后，教师用几何画板对大家的结论和证明进行动态验证。
【环节四】适时引导，深入探究
师：如果将P点变成椭圆上任意一点，直线垂直于x轴，焦点改为x轴上的某个点，是否也有类似结论呢？
学生猜想结论：已知椭圆上的任一点P（t，s）（-a[<]t[<]a）（t不为0），过点Q（t，0）作直线AB交椭圆于A，B两点（异于P点），交直线l：x=[a2t]于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则存在常数[λ]使得k1+k2=[λk3]成立。
教师用几何画板进行动态验证，并推广到圆、双曲线、抛物线，之后要求学生课后自主编题证明。
师：我们把刚才的部分条件和结论互换，结论是否成立？例如已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a[>]b[>]0）的焦点为F，点P是椭圆上一点，且PF[⊥]x轴，过焦点F的任一直线交椭圆C于A，B两点，且不过P点，若直线AB上有一点M，设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，且k1+k2=[2k3]，则点M在一条定直线上。
【环节五】建构模型，总结提升
师：回顾本节课，你能否通过一道题对平面解析几何问题的求解知识、方法、思想谈谈自己的体会？
教师请学生先自行思考，并对总结的内容进行展示。最后，教师总结归纳，对本节课一个问题的研究内容进行总结（如图4），并衍生、推广到更一般的问题。
四、结语
平面解析几何内容是培养学生数学抽象、数形结合、数学运算等关键能力和学科素养的重要载体，也是学生学习高中数学的一个难点。如果教师在教学过程中采用就定理讲定理，先理论后训练的传统教学方法很难培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。只有不断地优化学习的策略，把数学知识转化为数学问题，引导学生适时开展建模与探究活动，才能让数学知识成为通向学科核心素养的阶梯，也才有助于学生形成专家思维，真正学会运用数学思想解决数学问题，从而不断提升数学学科核心素养。
参考文献：
［1］章建跃.我国中学数学解析几何教材的沿革：“中学数学中的解析几何”之二［J］.中学数学教学参考，2007（15）：1-4.
［2］章建跃.中学解析几何的核心结构：“中学数学中的解析几何”之三［J］.中学数学教学参考，2007（17）：4-5，9.
［3］郑渊方，廖伯琴，王姗.探究式教学的模型建构探讨［J］.教育学报，2001（5）：1-4，18.
（责任编辑：陆顺演）
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