开展大单元教学 促进大概念发展

来源:用户上传      作者:王灵勇 姜滢

　　［摘 要］ 文章以2020年笔者和江山市教研室共同主持的省级教研课题“单元整体视角下小学数学研训的实践思考”为背景，分析了整体教学视域下小学数学“大单元”教学的意义，从深度教材、依托学情、改进过程、优化评价四个方面阐述了小学数学大单元教学的路径，以整体促进学生“大概念”认知结构的生长。
　　［关键词］ 整体教学；大单元教学；大概念
　　“大单元教学”是将数学知识结构类似的内容分模块组合解读，相对于自然单元更加体现整体性、系统化的大教学结构，促进知识序列化的迁移和生长；根据学生的认知特点，改进学习方式，适当调整、增减、拓展延伸相应的内容，体现合理性和实效性；课堂教学以多元表征整体推进，课堂生成更具有序列性、系统性；精准评价，确保单元整体教学教评一致，达成预期成效［１］。大概念既能体现数学单元领域中最关键、最核心的教学内容、数学思想，又能表现出较强的单元知识整体关联性。建立大单元教学的思想，践行“大概念”教学理念，有利于帮助学生编织起结构状的思维方式，培养学生的结构思维；有利于教师用系统的思维整体规划教学内容、把握教学目标，使课堂实现“1+X”精彩生成。
　　一、深研教材，寻找大单元教学的源头
　　解读教材时，梳理出核心数学概念，围绕核心概念一级指标建构认知结构框架。根据知识的内在关联性，将新知识细分为二级指标、三级指标等，融合到知识结构框架中，不断细化、完善知识结构，形成网状生长性知识域。在教学中可以有以下三种关联。
　　1. 形式上的类比性关联
　　小学数学平面图形“面积计算”系列课在教学结构上很相似，需要根据知识形式化关联建立大单元教学结构，从面积的意义出发，按长正方形的面积、平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、组合图形的面积、圆面积顺序安排教材。图形面积计算教学，都基于“面积”意义的理解上升到数量的表征，都渗透了“转化”“类比推理”的核心数学思想，都以猜想→推导→验证→概括为教学主线，提升学生数学思维。放眼其他教学内容，用大单元教学的形式推而广之，小学阶段很多规律型的课都可以进行迁移运用，如体积的计算、积的变化规律、商不变的性质、分数的基本性质、比的性质等。教师要引导学生经历归纳的全过程，获得关于归纳推理的基本经验，促进学生对规律性知识探究的结构化迁移。
　　像这样，形式上结构化类比关联，以“类”聚合的内容在小学数学教材中还有很多。低年级学习的“长度计量单位”，中高年级学习的“面积计量单位”“体积计量单位”，都体现了“度量”大概念核心教学思想，教学形式上都是基于“长度计量单位”教学模式作类比迁移。每一个内容都体现了以下结构模式：立标准，定单位→造单位，记个数→简便数，构模型。教学时，教师要在长度计量单位的探究上精耕细作，继而推广到面积计量单位、体积计量单位教学。类似的教学模式结构是明线，以大概念统整，基于学生思维逻辑为依据架构共性教学路径是核心主线。
　　2. 内容上的本质性关联
　　以小学阶段数的概念教学为例，学生掌握数的概念的本质，包含了三个层面：不仅指向教学内容，明确“是什么”，单纯教学定义，停留在模仿、记忆层次；还要指向知识之间的内在联系，突出本质关联，思考“为什么”，理解关系；还有后续生长的过程“怎么样”，建构概念域。
　　小学阶段数的概念的教学主要包括整数、小数和分数。在体会数（shù）源起于数（shǔ）的共性中凸显以计数单位数数的思想，理解数的产生是因需要不断扩展而来，从而类比迁移序列化内容教学的共同之处。例如小数意义的教学，以分数和整数为核心建立广泛的联结，利用数轴充分沟通分数与整数、小数之间的联系。数轴上猜数5，将“10”平均分成10份，每份是1，5个1就是5；数轴上猜数0.5，将“1”平均分成10份，每份是0.1，5个0.1就是0.5。为什么都是平均分成10份，得到的5份却是不同的数呢？因为计数单位不同。在这个过程中教师要引导学生逐步感悟，小数计数单位是按照十进制不断均分得到的。用0.1为计数单位进行数数时，出现0.5和0.6之间无法用一位小数精确表示的小数，能激发学生探究比0.1更小的计数单位，从而产生用两位小数进行精确度量的需求，理解并结构迁移到三位、四位、五位小数等。回顾整数计数的“一而十，十而百，百而千，千而万”，对比小数相邻计数单位之间的关系，可利用十进制迁移小数数系与自然数数系的关系。在建构小数数系的同时，将其自然纳入以十进制为核心概念的数系知识结构体系中，与自然数系共同形成更大的具有内在逻辑联系的知识整体结构（图1）。
　　3. 认知上的递进性关联
　　无论是整数、分数还是小数教学，用计数单位进行叠加计数，都是数概念教学的重点。整数概念教学分四个阶段呈f进性关联，如图2。
　　20以内数的认识，重在一一数数、计数，用小棒、动物、植物、图形等具体、形象的物品作为重要的学习材料；认识百以内的数时，借用具体、半形象的材料数数，如带文字叙述结构化的立体图形、小棒、苹果、小动物，但不再只是可视化的直观具体材料，抽象水平有所提升；教学万以内更大数的认识时，已经使用了数轴、计数器、数位顺序表、文字表示等模型、半抽象的结构化材料来读数、数数；在教学亿以内的大数时，已完全抽象为用文字描述、数位顺序表、抽象符号（数字）进行数的读写。
　　二、依托学情，把握大单元教学的契机
　　数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性。早期的运算需要强化成直觉记忆，如20以内进位加和退位减、表内乘除法、乘加口算等。从理解算理、算法选择入手，最终达到熟练化和自动化，从文本记忆走向工具运用。教师基于大单元教学理念，遵循学生的认知水平，精练学习内容，弥补认知不足，让教学更高效。
　　1. 以少胜多，对应难点作精简剔除
　　如20以内退位减法，共36题，是后续学习其他加减法的基本技能之一。根据学生学习的重难点进行精心剔除，可以实现教学事半功倍。利用减数和差位置交换的先剔除16题，精简到20题；再剔除有特点的熟悉的1□-9，精简到12题；减数等于差（如16-8=8）比较特殊，对于学生来说也相对简单，如果进一步进行精简剔除，最后重点剩9题（图3）。通过精练提高口算效率，提升运算技能，可以减轻师生负担。

　　作为高水平的教师，应针对学生学习中的困难节点做好提前防护，防患于未然。在学习了多位数笔算乘（除）法后，教师就会发现学生虽然掌握了算理算法，但错误率却居高不下。其实，任何笔算的计算过程都可以分解成乘加口算。例如计算359×37，其中就有5×7+6的进位心算过程，口算“□×□+□”是笔算乘除法的基础。但不能等到教了笔算乘除法了再练口算，要提前在二年级教完乘加后，再开始针对难点和易错点训练乘加口算。以“5×7+□”为例，共有9个算式，但因为乘数是7，后一位最大乘9也只有进6，所以多位数乘法涉及的乘加算式就只有6种可能。在这6种可能中，可以分成两类：第一类不进位（5×7+1，5×7+2，5×7+3，5×7+4）；第二类进位（5×7+5，5×7+6）。显而易见，“5×7+□”的乘加口算根据后续学习的是否常用，以及是否进位的难易度从9题精简到2题。推而广之，“□×7+□”包含的81题可以精简到需要重点练习的21题，所有的“□×□+□”乘加口算都可以按此方法进行精简剔除，然后进行对应的强化训练。
　　基于数学教学的序列性，学生数学素养提升的需求，教师适时补充相应的练习，帮助学生精简剔除，可以让教学更精准发力、更高效生成。
　　2. 由高往低，对应缺陷作渐进式弥补
　　学生学习越到高年级，数学知识技能缺陷越难以弥补。这些基础知识的困难在低年级就已渐露弊端：有些缺陷是因为教材编排结构造成的认知困难；有些是因为技能的训练没有针对性。教学中，教师及时进行渐进式的弥补非常重要。
　　如学生在学习“用7～9乘法口诀求商”前，已经能用2～6的乘法口诀求商，但在分析“用7～9乘法口诀求商”的45道前测题时，发现了三类错误：①用同一句口诀求商的过程中，除数比商小的除法算式错误率较高，如16÷2=8比16÷8=2更容易出错；②关于8的乘法口诀求商，错误率比7和9的要高等。这些错误会让教师反思学生的学习路径。首先，乘法口诀按“小九九”的方式编排，积比较大的口诀都跟7、8、9这些乘数比较大的正相关，如“二八十六”这句口诀是在8的乘法口诀中学习的，积16跟8的关联自然要比跟2的关联更大一些。其次，7的口诀是单元教学修正一段时间后再学的，9的口诀是乘法口诀学习的最后一个内容，对于学生的认知而言，8的口诀相对不熟练。因此，出现对8的口诀求商最薄弱，是符合学生的认知心理的。对应这些缺陷，要提前到乘法口诀教学时就做出相应的调整，比如学习完了所有的“小九九”编排的乘法口诀后，按大九九乘法表复习整理，强化积与两个因数之间的关联；或放缓对8的乘法口诀学习进程，加强8的乘法口诀练习等。
　　学生数学学习过程中结构知识上的缺陷需要及时进行弥补，或拓展强化。如学生学习了“面积”以后，在计算图形的周长与面积时总是出现混淆，这种缺陷在不同层次的学生中都普遍存在，纵观各版本教材，周长和面积一课的教学，时间跨度大，学生认知上容易出现断层，因此常常出现“周长”与“面积”相混淆，而教材并没有安排“周长”与“面积”整合的辨析课。“周长”与“面积”辨析问题要不要教，什么时候教，怎么教？对此，在三下认识了面积之后教师设计了“周长与面积关系”一课。
　　课始，教师出示一个长方形与一个正方形，让学生用蓝笔涂一涂面积，用红笔描一描周长，然后分别算一算周长和面积。这样，能让学生明确“面积”和“周长”的不同。接着，教师把一个长方形框架逐渐“挤压”成平行四边形，让学生进一步发现“周长相等的图形面积不相等”，强化对周长和面积意义的理解。随后，教师设计了“在边长为10厘米的正方形中减去一个长5厘米、宽4厘米的长方形”，让学生自主提问并解答。例如，（1）这个正方形中有多少个小长方形？（2）剪去的长方形面积和周长各是多少？（3）剩下的图形周长和面积各是多少？教师通过开放性问题，让学生基于不同的认知水平积极投入思考，参与交流，激发创新思维。接着，教师让学生解决第4题（图4）：（1）下图中哪个图形面积最大？为什么？（2）第一个和第三个图形有什么发现？问题（1），让学生进一步理解面积含义；问题（2），让学生发现“周长不相等面积相等”，与课始的“周长相等面积不相等”形成完整的认知，强化对比辨析理解。紧接着，教师趁热打铁引入苏教版教材“解决问题策略”（图5），引а生用列举法解决问题。
　　三、跟进课堂，探索大单元教学的方式
　　学生的数学思维能力、解决生活实际问题的能力在很大程度上需要依赖自身心理表征的抽象性和结构性，而多元表征能帮助学生更好地记录、理解数学知识，主动建构数学认知结构［２］。
　　1. 以一至多形象理解
　　同样的一个数学内容，学生可以用具体实物、图形表征、抽象的语言、文字符号等表述，在多元表征中理解相关的内容（表1、图6）。如“小数的意义”教学中，教师让学生利用多元表征进行学习，在循序渐进中促进学生认知由浅入深地转化，对“1.76”进行的不同理解（如图7）。
　　实物情境： 1元和7个1角和6个1分组成1.76元，共176个1分。
　　教具模型： 用皮尺直观演示其中的1.76米。
　　图形图表：
　　语言：我爸爸的身高是1.76米，1表示1米，再把1米平均分成10份，先涂出7份，再把第8份平均分成10份，涂出其中的6份，就表示0.76，合在一起就是1.76。1.76在1.75和1.77之间。
　　书写符号：1+0.7+0.06=1.76（米）
　　通过多元表征对数学概念的意义进行深化理解，巩固提升，类比迁移，并通过多元化学习、多样化交流互动，学生原有的经验得以完善和提炼，形成从低层次到高层次的深度理解。
　　2. 以多至一抽象表征
　　学生认知表征分动作表征、图像表征、符号表征三个不同阶段递进上升。前两个阶段是为了最后的符号表征，抽象理解。
　　计算教学中不仅要关注顺向思维，还要关注逆向思维，算理与算法之间要进行多向联系，促进图式与口算的联系、图式与笔算的联系、口算与笔算的联系等，使学生真正理解算理。如教学“两位数乘两位数”，可以很好地借助直观手段帮助学生理解笔算竖式的算理，掌握算法。学生已经会两位数乘一位数和两位数乘整十数的口算和笔算，他们都有拆一个两位数分开乘这样的经验。当学生面对14×12时，一般会出现以下两种作品（图8）。

　　教师可以结合学生作品进行算理解释和算法沟通，引导学生在点子图中圈出自己算式的每一步，一边圈一边说（图9、图10）。学生在圈画中明白拆两个因数，两两相乘只是其中的两个部分积，还少了两个部分积，补齐后发现应该是：先算10×10=100，4×2=8，10×4=40，10×2=20，再相加。而图8中的作品1只需要拆一个因数，只有两个部分积，计算方便。通过正确与错误作品的对比，使学生不断沟通点子图与口算的联系，明晰正确的拆分方法，再逐步形成正确的算法，最后延伸到笔算。“外在表征――内在表征――认知结构――数学对象”构成的是一个学习循环的过程，运算技能的形成离不开这样的学习循环抽象过程。
　　3. 以小悟大拓展思维
　　以小悟大，即通过题组引导学生的解题思路，使学生能够将已经学过的知识运用到解题过程中，并掌握一定的思维技巧，找到题组与知识体系间的最佳联合点。
　　例如在复习“小数的整理与复习”一课时，教师在黑板上写下“103.2560”，以此引导学生的拓展思维，并让学生自主设计问题如下。
　　生1：这个小数的整数和小数部分分别是？以什么为界划分？
　　生2：怎样读出这个小数？
　　生3：这个小数能够表示生活中的哪些量？
　　生4：1在（ ）位，表示1个（ ）；2在（ ）位，表示（ ）（ ）；6在（ ）位，表示（ ）个（ ）。
　　生5：103.2560是由（ ）个1和（ ）个0.0001组成的。
　　生6：103.2560中去掉哪些零，能够保持数量不变？为什么？
　　生7：如果在小数后增加单位“米”，则103.2560米表示103（ ）256（ ）；其中2表示2（ ），5表示5（ ），6表示6（ ）。
　　由学生提出问题，然后解决问题，提高了学生的学习兴趣，同时也让学生理清了知识的来龙去脉，同样能达到复习单元知识的教学目的。这种开放问题引发学生运用已有的知识、方法去思考，从而形成题组以小悟大，使学生的学习和探究能力进一步增强，并为后续知识建构及拓展奠定坚实基础。
　　4. 以点结块建构体系
　　教学中教师应立足单元视角将知识结构中以“点状”形式存在的知识连成“线”，结成“块”，使学生对知识的理解掌握形成结构化、系统化，完善学生的认知结构。
　　例如，对于面积单位的整理，不仅要让学生明白所学面积单位适用于什么地方，更重要的是厘清面积单位之间的关系及换算。计量单位的呈现顺序是从小到大逐步累加而来的，相应的面积单位对应着所学的长度单位。
　　师：对于学过的面积单位，你有什么疑问吗？
　　生：我发现已经学过的相邻面积单位之间的进率是100，只有平方米与公顷之间的进率是10000――很特殊。在换算的时候容易弄错。
　　生：平方米与公顷之间是否还存在着另一个面积单位呢？如果有，把它加进来就好记了。
　　师：有一个怎样的面积单位呢？我们可以研究一下。
　　生：对照面积单位与长度单位的关系，我发现：边长1分米的正方形面积是1平方分米，边长1米的正方形面积是1平方米，边长100米的正方形面积是1公顷。以此类推，在平方米与公顷间应该有边长10米的正方形面积的面积单位。
　　师：有道理，那应该叫什么呢？（呈现图片）边长10米的正方形面积是100平方米，我们把它叫作公亩。1公顷等于多少公亩呢？
　　生：100公亩。因为1公顷等于10000平方米，1公亩等于100平方米，10000里面有100个100，所以1公顷等于100公亩。
　　师：公亩是介于平方米与公顷之间的一个面积单位。只是公亩现在不常用了，如果把公亩放进来，我们就发现：每相邻的两个面积单位之间的进率都是100。
　　教师针对学生提出的疑问，结合教材“做一做”适时引入对“公亩”的研究并介绍有关“公亩”的知识，让学生彻底明白相邻的面积单位之间的进率是100，只是公亩现在不常用而造成公顷与平方米之间的进率是10000。
　　在认识“公亩”的同时，结合整节课对“公顷和平方千米”的认识，对面积单位作如下的整理（图11）。
　　四、优化评价，提升大单元教学的成效
　　基于大单元教学的视角通盘制定规划，确定单元模块内容，分课时确定目标，给出详细的单元教学安排与评价机制，努力做到教评一致、教有所依、学有所评，确保单元教学达成预期的成效。
　　1. 分层制定评价标准
　　数学家弗赖登塔尔曾指出，学生数学学习是分层递进的，数学教学的任务是帮助学生拾级而上提高层次，实现“再创造”。数学教学活动应遵循学生的学习规律，以范希尔几何思维水平层次为依据，精准分析教材和学情，制定目标、指定路径、实施评价、分析目标达成（简图如图12）。
　　根据学生几何思维层次水平，笔者以六上“什么是圆”大单元教学为例，对教学内容进行系统梳理，制定了分层思维水平分析表（表2）。
　　基于大单元教学视角，学生几何思维水平由水平0循序渐进向水平3――形式化演绎迈进，教学内容、课时教学活动的设计、课堂推进也由易到难逐步推进，帮助学生整体、系统经历“数学化”。
　　2. 整体制定评价目标
　　为了精准分析学情，笔者团队对城区、城郊、乡镇、山区等不同学校学生进行了抽样调研，从中发现：约86%的学生对圆有初步感知，能正确辨认出圆心、直径、半径等概念，只有9%的学生对相关概念能基本准确地进行描述，55%的学生能举出生活中圆的具体例子。约55%的学生在三年级认识了图形的周长，对圆周长的学习形成了方法的正迁移，能通过绳子等工具测量圆的周长。约34%的学生知道圆周长和面积公式，能初步套用公式进行正确计算，思维水平已经达到了水平1，但学生不理解公式形成的过程，不知其所以然，“转化”“化曲为直”的数学思想方法存在断层。约90%的学生能用分割法、数格子法算出圆的面积。根据学情，笔者基于大单元教学视角，制定了以下评价目标。

　　整体层面：
　　本单元重点是图形的转化思想和度量思想，让学生基于长度的测量将圆的周长和面积解决问题转化成已知图形来解决。
　　具体目标：
　　（1）通过观察、操作，认识圆，会用圆规画圆。
　　（2）通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。
　　（3）经历尝试、探究、分析、反思等过程，积累数学活动经验，在解决圆相关的数学问题的过程中，提高解决实际问题的能力。
　　（4）经历圆周长、面积计算公式推导过程，体会和掌握转化、极限等数学思想。通过数学再创造活动，思维水平达到非形式化演绎，并向水平3形式化演绎过渡。
　　（5）通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
　　3. 系统规划提升成效
　　纵观不同版本教材关于“圆”的单元教学内容，大致分为三个板块内容，即“什么是圆”“圆的周长”“圆的面积”。每块内容由新授及练习组成，圆的面积之后还增加了“圆与正方形”拓展课。基于对教材、学生学情的分析，对教学内容进行了系统规划整合，分“立”“改”“整”“拓”四个模块展开。“立”（什么是圆）――单元开启课，重点解决“圆一周同长”核心问题，领悟圆的本质特征；“改”（圆的周长、圆的面积）――单元生长课，重点解决“周长与直径之间的关系”“推导圆的面积公式”核心问题，感受极限思想，发展几何推理能力；“整”（整合课）――重点解决“变式应用面积公式推导，灵活解决生活问题”核心问题；“拓”（圆与正方形）――重点解决“建立数学模型，沟通圆与方的关系”核心问题，将面积差比拓展到倍比。具体安排如图13。
　　4. 内外融合检测评价
　　评价是检验大单元教学成效的依据，应充分挖掘知识间的内在联系，形成思维品质，还需要结合课内知识结构和课外拓展材料设计出多角度、多层次、全方位思考的练习，进而整合评价学生的学习效果。
　　完善知识结构，检测知识运用能力。教师应该在学生初步建立知识结构时，适时地进行知识方法的检测，提升综合运用能力。
　　以圆的面积灵活运用（课内）片段为例，教师在教学中着重引导学生借助正方形的方格估计圆的面积，体会圆的面积与圆的半径有关，是圆的半径平方的3倍多一些。让学生从不同的视角探究圆的面积，更能激发学生的探究欲望，也为面积计算教学打开了一扇窗。
　　因此，笔者觉得在练习检测中可以把以下这类题组内容融进课堂教学中，后续的练习中出现这类相关的问题就迎刃而解了。学生会从中感悟前面的“三倍多一些”其实就是π倍，在无法得到圆的半径是多少的情况下，可以用a2来代替r2，巧算圆的面积。
　　例题：图形面积巧计算
　　1. 如图14，以点O为圆心，正方形OABC的面积是20cm2，求圆的面积。
　　2. 如图15，以点O为圆心，三角形OAC的面积是20cm2，求圆的面积。
　　3. 如图16，以点O为圆心，等腰直角三角形OAB的面积是30cm2，求圆的面积。
　　尝试课外拓展，测试自主学习能力。知识方法的运用能力体现在生活中的问题解决中，而思维方式更体现在对全新知识的自主学习中，教师应该给予学生这样的机会，让他们去尝试触碰一些相关联的新知识，体会思维方式的价值。
　　例如：破镜重圆数学小研究（课外）片段。图17是从一个圆形纸片中撕下来的一部分，你能还原整个圆吗？你想到了哪些方法？
　　学生灵活\用圆的特征从不同角度展开思考：折一折、画一画、估一估、拼一拼等，把一个残缺的圆变得圆满了。
　　参考文献：
　　［１］ 侯学萍，陈琳. 小学数学单元教学的整体设计［Ｊ］. 教学与管理，２０１８（２９）：４３－４５.
　　［２］ 熊梅，李洪修. 发展学科核心素养：单元学习的价值、特征和策略［Ｊ］. 课程・教材・教法，２０１８，３８（１２）：８８－９４.


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