基于模糊理论的证券投资组合模型的研究
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作者: 王海燕 许若宁
摘要：本文提出通过咨询专家得到证券的模糊收益率，定义模糊收益率与预期收益率的偏差产生风险，并给出风险的定义式。然后建立一个收益最大风险最小的投资组合模型，并利用模糊两阶段法进行了求解。
关键词：投资组合 模糊收益率 风险损失率 模糊两阶段法
引言
在进行投资组合的模型的研究的中心问题就是如何获取证券的收益率。以往的研究者大都是从证券以往的数据通过统计的方法来获得。这种方法在数据比较少，或者新上市、重新资产组合的证券就不太适应。所以本文通过咨询对证券有丰富经验和大量信息的专家，来获取证券的模糊收益率。再利用三角模糊数的相关知识，考虑投资者的投资要求，确定投资者对证券的预期收益率，并定义模糊收益率与预期收益率的偏差产生风险。同时给出这种风险的定义式。
1、模糊收益率的选取
在证券投资中，我们用预期收益和风险损失率来描述投资某证券所获得的收益及所冒风险的量。在以往的研究中，将预期收益率设为随机变量，统计证券过去的数据，然后这些数据的数学期望和收益率的标准差来度量证券的收益率与风险，这在现实的证券市场的应用中会出现以下的一些困难和缺陷：
（1）很多上市公司通过资产重新组合等手段，使得其基本面发生重大改变，这样使得过去的数据将没有参考价值，而且新上市的证券我们也无法统计出它们的过去数据。
（2）历史上这些证券的收益率的期望和方差都是常数，而实际中，证券的收益率具有模糊不确定性。
所以我们选用三角模糊数来表示预期收益率.设投资证券的预期收益率为 其特征函数(隶属函数度)可表示如下：
其中am表示r的均值，为模糊数的左、右扩展，以此反映出r的模糊性。
在应用中，我们可以向专家进行咨询，来确定三角型模糊数r中的三个参数， 。
考虑到由模糊综合评价得到的收益率是模糊数，并非确切的数值，为了方便讨论，我们可以用模糊集合的“中心值”来代表整个模糊数，对模糊数进行非模糊化处理。根据模糊数的知识，引入下面反映 取值大小的指标。
可解释为的加权均值。它考虑了取值的集中位置。我们称为模糊数 的综合期望值。
特别的，对于三角型模糊数，有下列结论
2、模糊预期收益率下的风险损失率
证券S的模糊预期收益率为 ，那么证券S的风险及度量需要考虑下面的两点：
（1）风险来源于实际收益率与预期收益率之间的偏差。预期收益率的数值或者可能性减少会带来风险。
（2）风险的度量应该反映出投资者的投资行为。当投资者的预期收益率高的时候，其相应的风险也大；反之亦然。
定义1设，隶属函数为支集 。，对于 偏差 ，称为相对与 的左偏差。
显然，左偏差的程度取决于属于隶属函数 的隶属度，所以可以将 作为左偏差 的权数，综合每一个左偏差的情况，可以得到。如果 则可将权函数作归一化处理，因此可以得到
由于，的定义是有意义的。根据上面的分析，综合考虑了模糊数，
综合考虑了模糊数 相对于的左偏离程度。
性质1 若 ，且 =，即为三角型模糊数， ，则
于是，在证券投资中，证券S的模糊收益率为模糊平均数，并以综合期望作为衡量证券的模糊预期收益率大小的综合指标。
定义2 证券S在模糊数据下， 作为证券S的模糊收益率，
作为证券S的综合期望收益率。
定义3 称 为证券S在预期收益率下的综合风险损失率。
如果是一般的投资者的话，我们完全可以取综合期望收益率
作为证券S的预期的收益率。那么 ）就是这只证券的风险损失率。
3、基于模糊信息与风险损失率的模型
（1）问题提出：假设市场上有种n证券，表示证券组合，其中表示证券的投资比例， 表示第种证券持有期的预期收益率， 表示第种证券持有期的风险损失率，
（2）模型建立。一般地，投资者希望收益最大且风险最小，则投资组合的线性模型如下：
其中证券的组合投资的风险用风险损失率来度量。
（3）模型求解。我们建立的显然是一个多目标的线性规划问题，证券组合投资决策的实质是寻求pareto的有效解，因为多目标问题的绝对的最优解往往是不存在的。如果模型的有效解是存在的，那么相应的证券投资组合就称为是有效的。下面采用多目标投资组合的模糊两阶段算法，其具体的步骤为：
第一阶段：
构造隶属函数
由模糊愿望隶属函数可以得到下面的线性规划模型
一般情况下，我们不知道上面的问题的解是不是唯一的，因此也不能够判断出它的解是不是原来的模型的最优解。所以上面问题的解的有效性还需要经过下面模型的检验才可以。
第二阶段：
检验x(1)的有效性或者寻找新的有效解x(2)
如果x(1)=x(2)，那说明x(1)已经是问题的最优解。如果两个解不相等，那x(1)不是有效但是x(2)总是有效解。所以在任何情况下，两阶段法总是可以在第2阶段保证第原问题的有效解.
（4）模型的算例分析
假设下面是专家给出的8种证券的模糊收益率运用前面所建立的模型，结合算法进行实证分析。
专家给出的股票模糊收益率
股票的预期收益率和风险损失率
将数据代入上面研究的模型中分析得：
第一步：求得
得相应的隶属函数为
解相对应的线性问题：
第二步：检验以上求的解是不是原问题的有效解。
收益率为0.2347，风险为0.0056计算结果表明，8种证券组合投资比例为：对于证券3，投资比例为0.8647；对于证券5，投资比例为0.1353；其余股票投资比例为0.
4、小结
本文利用了模糊收益率下的风险损失率定义，建立了一个多目标的投资组合模型，其中预期收益率最大化和投资组合风险损失率最小，由于多目标规划问题的绝对最优解往往是不存在的，因而采用两阶段算法找出模型的有效解，并给出算例进行说明，从算例的结果看出，关于风险损失率的定义能在投资组合模型中得到较好的应用。
参考文献:
[1]陈国华、廖小莲.多目标投资组合模型的模糊两阶段解法[J].吉首大学学报，2006，第27卷：18-21.
[2]林军，卢谦.模糊预期收益率下风险损失率的左偏差度量[J].模糊系统与数学，2002，16（3）：87-93
[3]许若宁，李楚霖.衡量模糊标志值[J].模糊系统与数学，2001，第15卷第1期：62-67.
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