二项式定理的探究式教学策略
作者 :  岳丽华

  摘要:二项式定理可以看成是计数原理的一个重要应用,采用探究式教学方法,用计数原理的知识探究�发现-猜想-归纳得出二项式定理,教学策略的选择上应从两方面入手,(1)符合学生的认知规律;(2)如何突破学生遇到的探究难点。
  关键词:二项式定理;探究式教学;认知规律;教学难点;猜想;归纳
  引言:二项式定理的推导是该节的重点和难点,其传统教法比较呆板、单调,如果直接给出定理,或者是先给出一个 用组合知识来求展开式系数的例子,然后推广到一般形式,再用数学归纳法证明,繁琐的推导过程必然让学生感到被动,其结果认知水平较低,并非真正意义上的主动构建。那如何才能使学生获得主动呢?
  正文:二项式定理是在计数原理之后学习的一个重要知识内容,可以看成是计数原理的一个重要应用,然而从知识的长远学习来看,他是开启微分学大门的一把钥匙,对于多项式乘法知识的开发和拓展,开拓学生的视野,了解辉煌的数学史,激发学生学习数学的兴趣有着十分重大的意义。
  在教学过程中,采用探究式教学的方法,提出问题以引导学生进行思考,在原有知识的基础上,自行推导出的二项展开式,让学生经历探究�发现-猜想-归纳的过程,在教学过程中要根据学生的特点合理设计问题,完成从乘法法则到计数原理分析该问题的过渡,循序渐进的提出问题,突破难点,不直接告诉学生定理,在教师引导下,通过合情推理猜测结论,进一步证实结论,获得定理。教学关键是如何突破学生探究的难点(1)用组合数来表示二项式定理中各项的系数;(2)展开式的形式归结到以字母b进行分类处理上面。
  在教学处理过程中应寻找什么样的课题引入方法更学生的认知规律以及探究过程中突破教学难点的方法。下面结合我自己的课堂教学经验,谈谈这节课在处理方法上的选择。
  首先,从学生的认知规律上看这节课的教学策略。我们从结果上去看过程,这个定理的形式是组合数做系数的单项式的和,视觉上看是比较复杂而且抽象的一种形式。如果直接从各项的形式上入手,在学生的认知上会产生含参的系数障碍,所以先不急于给出这种形式,而是从学生已有的知识入手,让学生猜测展开后会有哪些项,学生根据以往的乘法展开式的经验,很容易说出有这样的项,根据学生之间的差异,有人能够说出这样一些形式的项,然而大多数的同学说不出或者说不完整。继而,根据学生的求知欲望方向展开探索和讨论,既能激发学生的求知欲,又是符合学生的认知规律的。
  关于次数n,我们可以先从最简单的2开始探究,研究他的展开式形式,观察各项的构成,验证我们上面关于展开后各项形式特点上面的猜测,因为这里展开项比较少,只要让学生在大体上了解计数原理的应用就可以了,不必在这里一定找出组合数形式的系数。
  接下来,我们从教学难点的突破上看如何选择教学策略。学生已经有了用计数原理来分析的二项展开式的意识,接着讨论的展开式,注意这里一定要突破两个教学难点,即(1)用组合数来表示二项式定理中各项的系数;(2)展开式的形式归结到以字母b进行分类处理上面。
  ,每个括号中都含有两项,即a和b,根据乘法法则,要从每个括号中选择一项乘在一起,才能构成展开式的每一项。这就是我们要完成的“一件事”,引导学生到计数原理的应用上。那么,要完成这件事,我们应该分步还是分类呢?学生自然会想到要分步处理,从每个括号中取出一项项,接着考虑合并同类项的问题,有哪些同类项呢?这里学生常常会不自主的从a的角度去考虑问题,这时,老师千万不能打断学生的思路,往b上面引导,在探究式的教学过程中,就是要允许学生存疑,然后我们在讨论、探究的过程中去解惑,这个过程就是突破难点的过程,在这样的过程中学生会对知识有更深刻、更全面的理解。当然,这样的课堂教学,对老师的能力也是一种考验,教师必须深刻理解教材,对知识有个宏观的,横向的了解。学生从a的角度去考虑了,教师不妨按照学生的思路引导下去,按a的个数进行分类,把各项的系数用组合数的形式表示出来。这里先不急于以字母b进行分类处理。之后让学生自行写出的展开式,目的是要检验和加深对于这种方法的理解。
  接着与学生共同探讨得出的二项展开式,有了以上的铺垫,这里学生也一定是按照字母a进行分类讨论,得出与书本不同形式的的二项展开式,即,接下来着手处理换字母的讨论方法了,让学生以同样的方法按照字母b分类,得出的另一种二项展开式,他的展开方法完全与字母a的方法类似,学生完成这个任务应是轻而易举的了。之后,大家得到共识,这两种展开式都是正确的。提出问题:请同学们比较这两种展开式,哪个更好?此时学生肯定还是选择以a分类的那种,因为他更符合自己认知规律。那么再问学生一个问题:请写出展开式的地32项,学生会发现,用第二种展开式,更容易找出这一项,第一种要逆向思维,而第二种很容易看出项和系数的关系。基于这种方便性,学生以后会心服口服的选择第二种表示方法。
  之后,对于展开形式以及通项的问题,可以让学生来自行总结,教师补充加板书,这样既加强了学生的辨析能力,又提高了学生的归纳总结能力。
  采用探究式教学方法来处理二项式定理,教师要舍得在探究上花时间,如果能把探究过程弄清楚,今后对于二项式定理的应用都打下了良好的基础。