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关于线性空间判定的探讨

来源:用户上传      作者: 缪彩花

  摘要:本文给出了判定集合是否构成线性空间的常用方法,强化了判定中容易忽略的条件,有利于读者加深对线性空间的理解,形成对线性空间的系统认识。
  关键词:线性空间 运算 元素
  中图分类号:G642.41 文献标识码:C DOI:10.3969/j.issn.1672-8181.2014.04.052
  线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是相对抽象的概念。为此我们给出判定一个集合是否构成线性空间的常用方法。
  1 按线性空间的定义直接证明所给的集合为线性空间
  例1 设V=R+{全体正实数},P=R,加法和数量乘法定义为:ab=ab;ka=ak. 证明V对,来说作成R上的线性空间。
  证明 首先,V对所定义的加法和数量乘法是封闭的,且满足八条运算规律:(1)a1b1=a1b1=b1a1=b1a1;(2)(a1b1)c1=(a1b1)c1=a1(b1c1);(3)?a∈V,a1=a1=a,即零元素为1;(4)?a∈V,a[1
  a]=a[1
  a]=1,即a的负元素为[1
  a];
  (5)1a=a1=a;(6)ka(la)=ak1=(kl)a;
  (7)(k+l)a=ak+l=akal=kala;
  (8)ka(a b)=(ab)k=(ab)k=akbk=(ka)(kb).按定义,R+作成R上的线性空间。
  值得注意的是:此例的证明中,首先证明所给的,为V的加法和数量乘法,初学者往往忽视这一点,另外,在验证V的,满足线性空间定义中要求的各条运算规律时,初学者往往对怎样求零向量和给定向量的负向量感到困难,常常错误地认为零向量就是0,这是不对的,在此例中,0?R+。我们可用以下的方法求V的零向量:设x是V的零向量,由零向量的定义知?a∈V,xa=xa=a,所以x=1且有1∈R+,因此V的零向量θ=1。同样,设y是a的负向量,即ya=ya=1,所以y=[1
  a],当a∈R+,显然[1
  a]∈R+,这样a的负向量为[1
  a].
  例2,设V为全体实数的二元序列的集合,P=R,证明:V对如下定义的运算作成R上的线性空间。
  (a1,b1)(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2);k(a1,b1)(ka1,kb1+[k(k-1)
  2]a12).
  证明 显然V非空,且对于所定义的两种运算封闭,又满足:
  按定义,V作成R上的线性空间。
  2 用反例说明一个集合不是线性空间
  当验证一个非空集合对V给定的运算作成数域上P一个线性空间时,需按定义逐条检验,而当验证V不是P上的向量空间时,只需给出不符合定义中的某一个,并且只要通过具体例子指出就行了。
  例3 设V={(a,b)|a,b∈R}=R2,P=R对如下规定的,来说,说明V不是P上的线性空间。
  (1)(a1,b1)(a2,b2)=(a1a2,[b1
  b2]);k(a,b)=(0,0).
  (2)(a1,b1)(a2,b2)=(a1+a2,b1b2);k(a,b)=(ka,kb).
  解:(1)因为(3,2),(1,0)∈V,但(3,2)(1,0)=(3,[2
  0])无意义,也即V对不满足封闭性,从而V不是P上的线性空间。
  (2)容易验证,是V的两个运算,且V的零向量θ=(0,1),但V中不是每个向量都有负向量,如(2,0)在V中没有负向量,从而V不是P上的线性空间。
  参考文献:
  [1]蔡海鸥.线性代数教学方法探索[J].首都师范大学学报(自然科学版),2009.
  [2]姚慕生,吴泉水.高等代数学[M].复旦大学出版社,2008.
  [3]丘维声.高等代数[M].清华大学出版社,2010.
  [4]白述伟.关于线性空间的公理系统[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1996.
  作者简介:缪彩花(1985-),女,汉族,云南宣威人,助教,主要从事基础数学研究,丽江师范高等专科学校数计系,云南丽江 674100
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