矩阵等价、相似、合同的区别与联系
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作者:李伯忍
摘 要：矩阵的等价、相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位，但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握。为此，本文针对它们之间的区别和联系进行探讨，为学生对这些概念的理解提供一定的帮助。
关键词：等价;相似;合同
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065
《线性代数》是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程。学好这一门课程，不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练，而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用。
本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系：矩阵的等价、相似与合同进行讨论，着重探讨三者之间的区别与联系，为学生对这些概念的理解提供一定的支持。
1 基本概念
矩阵等价定义：假定矩阵A和B为同型矩阵，若存在可逆的矩阵P，Q，满足PAQ=B，那么称A和B是等价的。
矩阵相似定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足P-1AP=B，那么称A和B是相似的。
矩阵合同定义：假定矩阵A和B均为n阶方阵，若存在可逆的矩阵P，满足PTAP=B，那么称A和B是合同的。
2 区别和联系
（1）矩阵的等价只是要求矩阵A和B是具有相同的行和列的矩阵，不要求必须是方形矩阵，但是相似和合同则要求矩阵A和B必定是同阶的方形矩阵。
（2）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆。
（3）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均满足反身性、对称性和传递性。
（4）矩阵的等价、相似以及矩阵合同实际上均是矩阵和矩阵之间进行初等变换，只是初等变换的要求有些区别。
詳细的说明展示如下：
依据可逆矩阵的充要条件，n阶方形矩阵阵A是可逆的矩阵A等于一系列初等矩阵的乘积。
故矩阵A和B等价的条件PAQ=B可转化成：存在m阶初等矩阵P1，P2，…Ps和n阶初等矩阵Q1，Q2，…Qt，使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B。
相似的条件P-1AP=B可转化成：存在n阶初等矩阵P1，P2，…Ps使得Ps-1…P2-1P1-1AP1P2…Ps=B。
合同的条件PTAP=B可转化成：存在n阶初等矩阵P1，P2，…Ps使得PsT…P2TP1TAP1P2…Ps=B。
可见等价变换是对矩阵作一系列的有限次初等行或列变换;相似变换和合同变换也是作一系列的有限次初等行或列变换，但行变换的次数与列变换的次数是相同的，而且矩阵行变换与矩阵列变换的变换方式是相对应的;相似变换要求作一次矩阵列变换，相应的也要求作一次矩阵逆行变换;合同变换要求作一次矩阵列变换，也相应的作一次相同的矩阵行变换。
3 文氏关系图
4 如何判定矩阵与矩阵之间的相互关系
在判定矩阵的等价关系、相似以及合同关系时，满足矩阵等价、矩阵相似或者矩阵合同的两个矩阵的秩都必定相等，再适当的利用特征值与正负惯性指数来判定矩阵相似或者矩阵合同。
（1）矩阵A与B等价R（A）=R（B）。
（2）判定矩阵相似的四个必要条件：①A与B的秩相等;②A与B的特征值相同;③A与B的特征多项式相等;④A与B的行列式相等。
假定满足上述的必要性，我们还不可以判定矩阵是相似的，如何判别两个一般矩阵的相似，一般考试大纲不做要求，但如果矩阵A和B均与一个对角阵相似，那么可由相似矩阵满足传递性，可以知道A和B是相似的。
（3）对实对称矩阵，有一些非常重要的结论，可用于判断矩阵是相似的或者是合同的：①A与B均是实对称矩阵并且是相似的矩阵A和B的特征值相同;②A与B均是实对称矩阵并且是合同的二次型xTAx和xTBx的正负惯性指数是相同的;③A与B均是实对称矩阵并且是相似的A与B必定是合同的。
矩阵的合同主要应用于二次型，故判定矩阵是否合同的前提主要是在实对称矩阵的前提下进行，所以实对称矩阵A和B是否合同，只需要判定矩阵A与B的特征值符号是否一样;矩阵相似是指两个矩阵的特征值相同;矩阵等价是指两个矩阵的秩相等。
5 矩阵的等价、相似以及合同关系，有下面的几个结论
（1）矩阵A和B是相似的，则矩阵A和B一定是等价的，反之不一定成立。
（2）矩阵A和B是合同的，则矩阵A和B一定是等价的，反之不一定成立。
（3）若矩阵A和B均是实对称矩阵且相似，则矩阵A和B一定是合同的，反之则不一定成立。
参考文献
[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2016.
[2]周勇.线性代数[M].北京：北京大学出版社，2018.
[3]孙瑶，杜润梅.线性代数中两个矩阵相似、合同、等价的关系[J].教育，2015，（46）：251.
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