考虑桩土相对滑移的单桩的受力变形分析
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摘要：本文采用一种新的用于分析单桩非线性问题的边界元方法。该方法将桩身离散成若干圆柱形单元，相应地也将与桩接触的土体离散成圆柱形单元。分别建立桩单元和土体单元剪应力与位移方程。在此基础上，采用桩和土体界面上位移相容条件建立整体方程，分析轴向荷载作用下单桩荷载与位移之间的关系。并提供了算例，分析竖向荷载作用下，单桩桩顶位移。
关键词：边界元方法；单桩；轴向荷载；滑移
人们对桩基的研究主要是从单桩开始的，目前比较完善的单桩计算方法有弹性理论法[1]、荷载传递法[2]、剪切位移法[3]、有限元法[4]和边界元方法[5]等。弹性理论法基于连续介质中的Mindlin解，考虑了地基土体的连续性，但是桩基沉降计算时，需要可靠经验及经验系数进行修正，由此计算出的桩基沉降变形会有人为因素的误差。荷载传递法和剪切位移法不能考虑土体的连续性。有限元法精度高，如果要考虑土体非线性需要采用接触面模型，计算工作量非常大。而边界元方法根据边值获得问题的全部解，计算时间减少。
本文用基于Yue基本解[6]的边界元方法分析单桩的受力变形。Yue基本解是无限域中层状材料的基本解，由于该基本解为闭合解，且具有较高的精度。首先建立考虑桩土相互作用的单桩分析模型，推导出单桩的线弹性分析公式，编写了相应的计算程序，并进行算例分析对比；然后考虑桩土之间界面的滑移模型，采用荷载增量法分析计算桩顶位移，并与已有的结果对比；最后得出结论。
1 考虑桩土相互作用的单桩的线弹性分析
将长度L直径d的桩视为一圆柱体，桩顶受到轴向荷载P作用。桩沿轴向分成n个长度相同的圆柱形单元和一个圆形的基础单元。为了求得桩位移的解答，需得到每个单元上以桩上未知应力形式表示的桩和土的垂直位移表达式，进而利用变形协调条件，求解已建立的方程式。
首先考虑一个小的圆柱形桩单元的轴向平衡，得：
(1)
该单元体的轴向应变为：
(2)
将公式(2)再求导一次，并根据公式(1)，可得：
(3)
式中：为桩横截面上的平均应力；为桩表面的剪应力；为桩单元位移。
微分方程（3）可进一步写成差分方程，应用于单元1到n。并将方程（1）应用于桩顶，此处，方程（2）应用于桩的底部，此处。可以获得桩的位移方程为：
(4)
为桩身竖向位移系数矩阵，为方阵。
层状地基土的位移方程可以写出：
(5)
当土体的变形为线弹性变形时，桩和土的位移是相容的，桩与桩周土的变形协调，认为桩与其桩周土没有相当滑动，则有：
(6)
2 考虑桩土相对滑移的单桩非线性分析
2.1 基于Yue 基本解考虑桩及土体之间相互滑动的分析方法
在前面的分析中，假设桩和土体之间交界面不发生滑动。由于实际土层存在一定剪切强度，桩和土交界面存在着有限的凝聚强度。当桩侧的剪应力达到凝聚力强度或屈服强度时，滑移和局部屈服会发生。因此，桩基础的理论分析应该考虑桩土之间相互滑动。
考虑土体和桩界面滑移时，应该采用由位移控制桩土的状态方程。利用桩的位移方程公式(4)和层状地基土的位移方程公式(6)，得到用位移表示的桩和土体的相互作用方程。
（7a）
或写为：（7b）
桩身与土体之间的滑移是渐进发展的，随着桩顶荷载的增加，从桩身上部的界面单元开始屈服，逐渐向桩身下部发展，最后，整根桩和土体之间交界面完全滑移。可以采用荷载增量法分析计算。
2.2 考虑桩土之间滑动的数值验证
用上述的方法来分析均匀介质中单桩在荷载作用下沉降和滑移情况。桩位移分析的力学参数为：桩长30m，桩的直径0.75m，土层深度50m，桩的弹性模量分别为30GPa、30000 GPa，土的弹性模量1056MPa，土的泊松比0.49，极限剪应力220kPa列在表1中。
图1给出了本文方法计算结果与由其它方法获得的计算结果的对比。Poulos（1989）和Basile（1999）的结果是用边界元方法获得的，而Jardine 等的结果是用非线性有限元方法获得的，随着轴向应变水平的增加，弹性模量明显减少。对于可压缩桩（桩弹性模量30GPa），用边界元方法获得的结果与用有限元获得的结果两者吻合的很好；而对于刚度较大的桩（桩弹性模量30000GPa），用边界元方法和有限元方法获得的结果两者在位移较大时，有一定的差距。这种差距在荷载为极限荷载的一半时出现。很明显，当桩的刚度较大时，桩土界面模型对荷载位移关系有很大的影响。
图1 单桩桩顶沉降结果的对比
3 结论
本文基于层状材料Yue基本解，推导出分析桩和土相互作用的计算公式。然后给出了分析单桩和桩土相对滑移情形下的分析方法。最后编写了相应的计算程序，并进行了算例分析。通过上述分析得到如下结论：
由于采用了层状材料的基本解，任意层数的层状地基均可分析，不必像弹性理论法采用Mindlin解的数值方法那样，需要采用近似处理方法。
对于地基土的弹性参数沿深度方向变化的情形，建议的方法能有效地处理。在利用基本解计算时，将非均匀土层沿深度方向分成若干均匀的土层，每均匀土层的弹性参数按所在深度取值。
与已存在的计算结果的桩的受力分析对比可以发现，计算结果的精度令人满意。
本文分析方法的局限性是，过大的高估了基桩的承载能力，对于位于群桩边缘的桩更是如此。本文只是运用边界元方法进行理论计算，还需要从事岩土工程桩基行业的专业技术人员将此方法应用到工程实例进行计算，进一步验证其正确性。
参考文献：
[1] POULOS HG. DAVIS E H. Pile foundation analysis and design [M].NewYork: Wiley,1980.
[2] SEEDHB,REESEL C. The action of clay along friction piles [J].J Geotech Engng Div,ASCE,1957,92:731-754.
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[4] Ottaviani M.Three-dimensional finite element analysis of vertically loaded pile groups Geotechnique. [J] 1975; 25(2) : 159-174
[5] Butterfield R and Banerjee PK. The elastic analysis of compressible piles and pile groups. Geotechnique, 1971; 21, No.1, 43-60
[6] Randolph MF.PIGLET: A computer program for the analysis and design of pile groups under general loading conditions. Cambridge University, Engineering Department Research Report,Soils TR91,1980
作者简介：刘燕，1983.03，女，山东德州人，研究生，工学硕士，助理工程师，从事岩土工程专业
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
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