浅析断面法在道路土石方量计算中的应用

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　　 摘要：本文针对土石方计算常使用的断面法的特点进行了分析介绍，并结合工程中的实际情况对该方
　　法所采用的不同的计算公式进行了分析，并通过实例对算法的实用性及优越性进行了说明。
　　关键词： 断面法；土石方量； 二次B样条函数
　　
　　一 引言
　　 随着高速公路建设的快速发展，在道路土建工程的规划设计和施工中，常常需要进行填、挖土石方量的概预算和精确计算，土石方的测量和计算工作越来越多。由于土石方量的多少直接影响着工程的造价，因而要求土石方量的计算具有一定的准确度。同时路基土石方数量的多少也是高速公路设计和路线方案比较中评价公路测量质量的重要技术经济指标。
　　 由于路基填挖方不是简单的几何体，所以土石方数量的精确计算是一项繁琐复杂的工作。本文根据工作实践认识，从断面法的特点及本质入手进行分析，针对土石方量计算目标，从断面布设、断面间距、计算方法与公式的选择等几个环节进行分析。针对不同的实际情况得出相应的计算公式，并对结果进行比较分析。
　　二 1.断面法及其作用简介
　　 所谓断面是指与线路走势相交的有界竖平面，其下周界是与原地面及边坡相交的曲(折)线，上周界是与规定高程相交的直线。按道路平面走向大势划分较长的区段,在各个区段确定走向方向线,尽可能以与方向线正交的方向平行地布设各断面,以便于断面间距的确定和计算公式的选择。所以针对这种情况要采用不同的计算方法，尽可能使计算的工程量趋近于实际的工程量。
　　 断面法：在地形图上或碎部测量的平面图上，根据土石方计算的范围，以一定的间距等分线路，将线路划分为若干个相互平行的横截面。按照设计高程与地面线所组成的断面图，计算每条断面线所围成的面积，由相邻两断面面积及之间的间距算出相邻两断面间的体积，将各相邻断面的体积加起来，求出总体积，这种方法称为断面法。它不仅适应于面状地形，更适应于带状地形和有坎地形。
　　2.实际操作流程
　　 以往的土石方测量和计算工作中，首先是在要施工的地方，测绘出原始地形图，施工后，也要测绘出地形图，然后按设计要求和需要在地形图上剖出断面图，有时候在条件允许的情况下也可不必测地形图，而直接在施工前后测绘出原始断面图和竣工断面图，在图上计算出各断面面积，再采用相应的计算公式得出工程土方量。这种方法虽然可行，但工作量大而且效率不高、自动化程度低。
　　 随着全站仪的不断更新换代，测量精度和自动化程度越来越高，利用全站仪可以快速获取控制点的三维坐标，并把测量结果自动的传输给计算机，计算机再加以数据处理,然后通过一些以AutoCAD为平台的专业测图软件，并编写相应的应用程序，实现数据采集、数据传输、断面绘制、面积查询以及土石方的计算。使得这项工作全过程基本实现了自动化。
　　2.1 全站仪采集断面数据
　　 首先建立独立的施工坐标系统，断面测量是在施工坐标系下进行的，所以要将测站点的大地坐标通过坐标转换换算成施工坐标系坐标。获取断面上各个特征点的位置坐标并自动记录，利用自编的程序将坐标数据传输到计算机中，将断面数据按照一定的格式进行组合排列，使其满足CAD自动绘图的需要。
　　2.2 自动生成断面
　　 将上述转化好的数据利用一些测图软件（如：cass6.0）进行绘图，用多义线自动生成断面图，一般每幅图画4、5个断面。实践证明，该方法与传统的断面测量方法相比，不仅提高了速度，节约了成本，减轻了劳动强度，更重要的是提高了精度、避免了一些人为的测记等错误。
　　3.计算公式的选择
　　 计算出断面面积和确定了断面间距以后，选择相应的公式来计算断面间的体积。下面就有关公式的适用性和建立相应的实用公式作一些探讨。
　　 土石方数量测算常利用“断面法”进行，测量断面形态，将相邻断面间的几何图形近似为台体或截锥体。工程实践中常用下面几种公式计算相邻两断面间的体积。
　　3.1 截锥公式
　　由棱台体积计算公式得出截锥公式如下
　　
　　式中为截锥公式计算的两断面间的容积；为、两断面的间距；、为两断面面积。截锥公式是有严格立体几何定义的公式,要求两底面平行且相似，各条侧棱延长后交于一点(顶点)，并且两底面的面积与顶点到各自底面的距离(锥高)的平方成比例。实际线路上的断面间几何体很难符合这些条件,但其立体概念明确,理论严谨,工程中常被近似地使用。
　　3.2 梯形公式
　　 梯形公式又称平均平均断面法它是将两相邻断面面积之和的二分之一乘以断面间距来计算体积，然后以各部分体积的总和来计算工程量，它是一种近似的工程量计算方法。此方法的特点是比较实用且简便迅速，但精度较差，该法只有当相邻面积、相差不大时才较准确。当、相差较大时，计算结果偏大，尤其是当相邻断面是填方和挖方同时存在时（这种情况下计算所得的工程量要比实际工程量偏大50％左右）。[3]
　　梯形公式可表达如下： 这个公式适用于两断面之间面积呈线性变化的情况,简单推导如下。由于面积变量呈线性变化，故
　　
　　在实际应用中两断面之间面积是否呈线性变化,并不容易观测和掌握。
　　而对于两断面面积和间距确定的空间体,梯形公式计算的体积略大于截锥公式计算的体积,这是因为≥0
　　3.3 截头方锥公式
　　 两断面间断面宽和断面高度呈线性变化，这种几何体数学上称为截头方锥体。其体积计算公式推导如下：设和两断面的宽分别为、，高度分别为、 ,如果宽和高在断面间都呈线性变化，即：
　　， ，面积变量为，则两断面间的体积为：
　　
　　 为和断面面积。
　　如果两个断面的宽()相等、且呈线性变化，则面积也呈线性变化，公式(2)就等同公式(3)。因此，梯形公式也适合断面宽、高度中仅有一项呈线性变化的情况。
　　3.4B样条函数拟合法
　　 上述讨论的都是一些常用的特殊情况，假设地面线为直线时,且两相邻断面间的断面填、挖方面积是线路长的凹曲线函数, 而且随路线长度呈非线性变化,上述公式就不太适用了。在计算时选取的插值函数应该至少是二次，用二次曲线拟合所要计算的断面填、挖面积函数, 其可导性也不应超过一阶, 否则光滑性太高, 容易在某些地形起伏大的地方形成拐点, 从而与实际情况不符。故采用二次B样条函数拟合断面面积函数。
　　3.5m次B样条曲线方程[2]
　　 对于给定区间上分划 (: )的次样条函数和:在每个子区间,是次代数多项式， ,令，那么第个次B样条函数为：
　　；对于分划△的任何次样条函数都可以用的线性组合来表示，即,故二次B样条函数为： ，在计算时已知各桩号对应横坐标,其对应填、挖方断面面积 令横断面填、挖方面积函数,可以对其进行积分来计算土方量：，两断面间的土方量 ：
　　三 算例分析：
　　 假设一段长为200m的道路，原地面与设计路面高差为4m，道路中线实际地面线为一抛物线形式：
　　
　　分别采用梯形公式法、截锥公式法、二次B样条函数拟合法进行计算，结果如下：其中实际土方量是采用直接积分方法得出的。
　　
　　 从结果中可以看出,用二次B样条函数拟合法计算出的结果均比梯形公式法、截锥公式法计算结果相对相对误差都小。此方法具有精度高,构造方法简便, 便于程序化, 对复杂地形适应性强的特点。
　　 当然每一种计算方法的用法都不是绝对的，更多情况下是几种方法混合交叉使用，在保证工程量计算误差较小的前提下，决定用哪种方法也是根据具体的情况而灵活使用。四 结论：
　　 大量实践证明，在道路土石方填、挖施工方量计算中，采用以上方法进行计算不仅适用于多种不规则的几何形体，而且计算结果稳定、误差小，不但大大提高了工作效率，而且计算结果得到了设计、建设、施工、监理部门的肯定，取得了很好的经济效益。
　　注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。

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