动态经济系统的最优控制模型及其数学解释

来源:用户上传      作者: 董丽华

　　【摘要】本文对动态经济系统最优控制模型进行深入剖析，从数学的角度，使我们对该理论的应用性有了更深刻的认识。
　　【关键词】动态经济系统  ；最优控制模型
　　一、动态经济系统最优控制的数学模型
　　经济系统有n个经济变量想x1（t），x2（t），…，xn（t）以及m个决策变量u1（t），u2（t），…，un（t），动态经济系统最优控制的数学模型可由下面的式子描述：
　　在解决实际经济问题中，通常只考虑n=2，m=2的情况，于是上面的数学模型可以化简为：
　　二、动态经济系统最优控制模型极大值原理的必要条件
　　作哈密尔顿函数：
　　H（x1，x2，u1，u2，λ1，λ2）=F（x1，x2，u1，u2）+λ1f1（x1，x2，u1，u2）+
　　λ2f2（x1，x2，u1，u2）…  ；  ； （1）
　　其中λ1（t）与λ2（t）为哈密尔顿算子。
　　决策变量u1与u2在他们容许范围内应使得哈密尔顿函数取值最大。
　　如果u1与u2是没有限制的，那么哈密尔顿函数值取极大值的条件为：
　　（1/）
　　（2/）
　　三、动态经济系统最优控制的数学模型极大值原理必要条件的剖析
　　在（1）式中，哈密尔顿算子λ1（t）与λ2（t）可看作影子价格，于是可以（1）式可以记为：
　　H×△t=F×△t+λ1×f1×△t+λ2×f2×△t
　　由于dt=△t，所以上式又可以记为：
　　H×△t=F×△t+λ1×△x1+λ2×△x2  ；  ； （2）
　　由（1）式和（2）式可以得出：
　　H×△t=C（t）×△t+λ1×△K1+λ2×△K2  ；  ；  ；  ； （3）
　　由（3）式可以看出：λ1是固定资本K1的价格，λ2是中间投入K2的价格。当我们进行最优决策时，一方面不仅要使在△t时间内获得的人均消费C（t）×△t最大，也要考虑到固定资本K1与中间投入K2的增值λ1×△K1+λ2×△K2 最大。
　　一般说来，F×△t称为对目标值的瞬时直接贡献，λ1×△x1+λ2×△x2称为对目标的瞬时间接贡献，两者之和称为对目标值的瞬时总贡献，这便是哈密尔顿函数的经济学意义。当我们采用经济决策时，应当使得哈密尔顿函数值取最大，这便是极大值原理的经济学意义。
　　再来解释影子价格λ1与λ2的经济学意义。
　　对于动态经济系统来说，其它都不变，仅固定资本K1增加△K1的量，那么由于△K1的增加必使得在时间△t内目标增加△H×△t，称△H×△t为由△K1引起的收益。
　　另一方面，若拥有△K1的资本，在t时刻价值为△K1×λ1（t），在t+△t时刻价值为△K1×λ1（t+△t），两者之差为：△K1[λ1（t）-λ1（t+△t）]=-△K1×△λ1，称-△K1×△λ1为拥有△K1的边际成本。
　　边际成本应等于边际收益，
　　-△K1×△λ1=△H×△t
　　或者：=-
　　由于其它都不变，仅△K1在变化，因此=，于是上式可以写成：
　　=-
　　类似地可以得出仅当K2变化时，△K2的边际收益等于边际成本，即：
　　=-
　　一般说来，如果其它都不变，仅当x1变化时，在△t内变化值为△x1，它对目标值贡献为△H×△t，而拥有△x1的边际成本为-△x1×△λ1，使用△x1的边际成本应等于它对目标的边际贡献，即：
　　-△x1×△λ1=△H×△t
　　或者：
　　=-
　　由于仅△x1在变，故=，上式可以写成：
　　=-  ；  ；  ；  ；  ；  ；  ；  ；  ；  ；  ； （4）
　　对x2的变化作类似分析，可得到
　　=-
　　而（4）式和（5）式就是动态经济系统最优控制数学模型极值的必要条件。
　　参考文献：
　　[1]张金水.数理经济学-理论与应用.北京：清华大学出版社，2004.
转载注明来源:https://www.xzbu.com/2/view-6379330.htm