李Ω-超代数g关于Ω-理想的几个性质
作者 :  艾玉波

  【摘 要】 本文将算子群的有关概念推广到李算子超代数,给出了李算子超代数g关于Ω-理想满足降链条件和升链条件下的几个性质。   【关键词】 李算子超代数;Ω-理想;自同态
  【Abstract】 this article calculated the subgroup the related concept promotes to the Li operator ultra algebra,produced Li operator ultra algebra g about Omega - ideally to satisfy the descending chain and to rise under the chain condition several nature.
  【Keywords】the Li operator ultra algebra -Ωis ideal
  【中图分类号】:O150 【文献标识码】:A 【文章编号】:1673-4041(2007)09-0045-02
  
  1有关概念:
  
  定义1、 一个李Ω -超代数的一个 Ω-投射称作理想的幂等 Ω-自同态,若这个 Ω-自同态π:g→g满足π=π2,且与g的所有内导子可交换,显然π(g)是g的一个 Ω-理想。
  一个李Ω-超代数的一个Ω-投射称作理想的Ω-自同态,若这个Ω-自同态π:g→g与g的所有内导子可交换。
  设g是F上的一个李Ω-超代数,且有分解g=A�B,其中A和B是g的Ω-理想,π是关于这个分解的到A的投射。则π是g的一个理想的幂等Ω-自同态。
  事实上,对任意的x=x1+x2,y=y1+y2,x1,y1 A和x2,y2 ∈B,我们有πadX (y ) =[x1,y1]= adxπ (y) 。进而,对�ω∈Ω,x∈g,有πω(x)=π[ω(x1)+ω(x2)]=ω(x1)及ω[π(x)]=ω[π(x1+x2)]=ω(x1)。因而πω=πω且π是g的一个Ω -同态。显然π=π2。所以π是g的一个理想的幂等Ω-自同态。
  定义2 、一个自同态θ称为幂零的,如果对某个正整数r有θr =0。
  
  2主要结果:
  
  定理1、 设θ是一个李 Ω-超代数g的一个理想的Ω-自同态,且g关于Ω-理想满足降链条件和升链条件。则存在一个正整数r使得Imθ r=Imθ r+1=…,及Kerθr=Kerθr+1=…,且有g= ImθrθKerθr.
  证明:因为θ是一个理想的Ω-自同态,显然θi也是一个理想的Ω-自同态并且Imθi是g的一个Ω-子代数.则对�χ∈g有adxθi=θiadX。所以对�y∈g有ad xθi (y )=θiadX (y ),即,[x,θi (y)]=θi[adX (y)] ∈θi (g ) 。因此Imθi是g的一个Ω-理想。同理,Kerθi也是g的一个θ-理想。显然有Kerθ�Kerθ2� …及Imθ�Imθ2� …,因此存在一个正整数r使得Kerθr = Kerθr+1=…= m及Imθr = Imθr+1= … = n。设x ∈g则θr(x) ∈Imθr =Imθ2r,于是存在某个 y∈g使得θr(x)=θ2r (y ) 。因此x-θr(y )∈m于是x∈m+n.这表明g=m+n.若x∈m∪n,则x=θr(y ) 其中y∈g。所以0=θr(x)= θ2r(y ),这样就有y∈Kerθ2r= Kerθr,于是x=θr(y )=0。故g=m�n。
  定理2、 若g是一个不可分解的李Ω-超代数,且关于Ω-理想满足降链条件和升链条件,g的一个理想的Ω-自同态或者是幂零的或者是一个自同构。
  证明:设θ是g的一个理想的Ω-自同态,由定理1,存在一个r>0使得g=Imθr�Kerθr。但是g是Ω-不可分解的,所以或者Imθr=0于是θr=0;或者Imθr=g并且Kerθr=0;在后一种情况中θ是一个自同构。
  定理3 、若g是一个不可分解的李Ω-超代数,且关于Ω-理想满足降链条件和升链条件.假设θ1,…,θk是g的理想的Ω-自同态,若θ1+…+θk是一个自同构,则至少有一个θi是自同构。
  证明:用数学归纳法。我们假设k=2并且α=θ1+θ2是一个自同构。设ψi=α-1θi,于是 ψ1+ψ2= id。因为θ1和θ2都是理想的,所以α也是;因此ψ1和ψ2都是理想的Ω-自同态.假设θ1与θ2都不是自同构;则ψ1与ψ2也都不是自同构。由定理2知ψ1与ψ2都是幂零的,所以存在某个r>0使得ψ1r=0=ψ2r。而ψ1=id-ψ2,所以ψ1ψ2=2ψ1。因此由二项式定理有id= (ψ1+ψ2)2r-1=∑2r-1i=0Ci2r-1 ψj1ψ2r-i-12。因为i≥r与2r-i-1≥r两者之一必有一个成立。我们得到对所有的i有ψ1iψ22r-i-1= 0.因此id=0,这意味着g={0},于是θ1= id=θ2,得出矛盾。
  
  参考文献
  1 Derek.J.S.Robinson,A course in the theory of groups,Springer-Verlag New York Inc.,1982.
  2 Wang Yanming,Finite groups admitting a p-solvable optator groups,Journal of Algebra 207(1998),no.2,478-490.
  3 Baer Reinhold,Automorphism ring of primary Abeilian operator groups,Ann.of Math(2)44,(1943)192-227.
  收稿日期:20074-09-26
  
  注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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