谈分部积分法的学习

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　　【摘要】本文分析了学习分部积分法的方法,探讨了学习分部积分法对学习者所起到的启发作用。
　　【关键词】分部积分 学习方法 启示。
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】1673-8209(2010)03-0-02
　　
　　分部积分法是一种积分方法,与换元积分法一样,都是计算积分的重要方法。怎样才能学好分部积分法部分的内容,学习分部积分法对学习者具有什么样的启发作用,是学习高等数学课程的过程中不可回避的问题之一,本文就这两个方面谈些粗浅的认识,与大家交流一下学习心得。
　　
　　1 学习分部积分法的体会
　　
　　怎样才能学习好分部积分法这部分内容呢?我认为要学好这部分内容需要从宏观方面和微观方面进行把握。
　　宏观方面把握就是要了解课程的总体结构,理清课程的知识体系,认识该部分内容在整个课程中的地位和作用。大家知道:高等数学研究的对象是函数,其中主要研究的是初等函数。在研究初等函数时,先从五类基本初等函数开始,在研究了基本初等函数之后,再研究更为复杂的初等函数。高等数学课程研究的主线是先研究极限和连续,再研究导数和积分等。在讨论函数的连续性和可导性时,都是按照先基本初等函数后一般初等函数这种思路进行的。在学习不定积分时,书的作者在介绍幂函数、指数函数和三角函数这三类基本初等函数的积分公式后,花费了较大的篇幅介绍很多复杂函数的不定积分的计算问题,然后再介绍对数函数和反三角函数这两类基本初等函数的积分公式,似乎违背了先研究基本初等函数积分再研究一般初等函数积分的顺序。但若仔细思考就会发现,在介绍不定积分这部分内容时,作者是按照既介绍积分方法又兼顾前面的顺序来编写的。首先是介绍换元积分的方法,紧接着用它来解决基本初等函数的积分问题。但由于这种方法解决不了所有基本初等函数的积分问题,而介绍完这种方法之后又不能不对此方法进行适当的训练,让学习者达到掌握此方法的目的。因此,在介绍换元积分法后,花费了一定的篇幅介绍积分计算的例子,这样做的目的是为了更好地让学习者能够熟练地掌握换元积分法的方法。然后再介绍分部积分法的方法,并用来解决另外两类基本初等函数的积分问题,教材总的编写思路还是遵循了先研究基本初等函数积分再研究一般的初等函数积分的原则。
　　微观方面把握就是要正确地理解基本概念,准确地掌握基本内容和基本方法。关于这一点,分部积分法也有所体现。
　　分部积分法对于理解不定积分的概念是很有帮助的。在学习不定积分的概念时,很多教材给出的定义是:“函数f(x)的不定积分是函数f(x)的带有任意常数项的原函数”。若仅从字面理解好象没有任何问题,但是遇到具体问题就可能会出现麻烦。例如,在用分部积分法计算时,如果采取如下的方法计算:,两边减去,便会有“0=1”这样的结果。这是明显的错误,产生错误的原因是什么呢?其实是理解概念的不全面,把f(x)的不定积分与f(x)的一个原函数混淆了。有的教材关于不定积分的概念是这样描述的:“函数f(x)的不定积分是函数f(x)的全体原函数”。若按照这种理解就不容易产生错误了,因为在集合论中,
　　成立,而不成立是显然的事情。
　　学习分部积分法,除了要掌握其方法外,还要体会解决问题的过程。首先,分部积分法的公式表明,要研究积分问题,可以通过转化为研究问题的办法来解决。这种解决问题的方法与“曹冲称象”的方法有相似之处,都是很好地利用了唯物辩证法中主要矛盾和次要矛盾相互转化的原理,通过将一个问题转化为另一个问题来达到解决问题的目的。其次,分部积分法具有很强的可操作性,告诉了当被积函数是何种类型的函数时必须使用分部积分法,并且给出了被积函数是幂函数和其它四类基本初等函数乘积时,如何选取函数u和函数v。第三,给学习者留下了探索的空间。比如,在用公式时,需要学习者自己体会两点,一点是u和v都要好求出,另一点是选取的u和v要满足计算要比计算容易。再比如,使用公式
　　时
　　可能会采取下述计算方式
　　
　　需要学习者明白这两种计算方式的结果是一样的,从而在选取函数v时,不用担心由于常数的差异带来的影响,可以放心大胆地使用不带常数C的函数v。
　　
　　2 对未来工作的启示
　　学习前人总结出来的经验,能够使后人少走弯路,直接在前人的基础上再进行深入的研究,从而将科学研究推向更高的境界。
　　通过分部积分法的学习,使学习者认识到这样一个道理:将来不论干什么工作,都必须学会从宏观方面和微观方面考虑问题。宏观方面考虑问题可以培养大局观,微观方面考虑是培养脚踏实地的工作作风。比如,若学习者将来在政府机关工作,宏观考虑问题就是要站在领导机关的角度来考虑看问题,要原则性强。微观方面考虑问题就是要站在基层下属的角度来看问题,要可操作性强。再比如,学习者如果将来从事科研工作,在科研选题时就必须从宏观方面和微观微观方面考虑问题。首先要从宏观上考虑选择的科研问题有没有实际意义,有多大实际意义?如果研究问题的实际意义不大,就没有必要花费太多的精力研究此问题,可以将精力转移到做其它更为有意义的事情上去。其次要从微观上考虑研究问题的可行性,有的问题虽然研究很有意义,但目前尚不具备研究的条件,在这样的问题上花费过多的精力也不值得。因此,在考虑研究的问题时,必须综合考虑研究该问题的优势是什么,劣势是什么?现在已经具备了什么条件,还有那些条件需要具备,将来能不能具备这些条件,打算通过什么办法来具备这些条件,在经过认真的思考,仔细的调研,科学的分析之后才能得出合理的结论。总之,学会从不同的角度来看问题,可以考虑问题更加全面,少走弯路。
　　分部积分法给人们的另一个启发是:即使是经典的学科,其中也有很多的问题解决的并不完满。比如,关于不定积分问题,人们知道了被积函数为幂函数(正整数次幂的幂函数)和其它四类基本初等函数的乘积时的不定积分是一定存在的(原函数是初等函数),但任意两种基本初等函数和乘积作为被积函数的不定积分却不一定都存在,比如,和都是不可积的(原函数虽然存在,但都不是初等函数)。这既给世人留下遗憾,同时也给世人留下继续探索的空间,或许在人们创造了新的理论之后,就会给出更加圆满的解决办法。
　　
　　参考文献
　　[1] 同济大学高等数学教研室主编,高等数学(第二版)上册,1981.11.
　　[2] 同济大学应用数学系主编,高等数学(第五版)上册,2002.07.

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