在线客服

咨询热线

运用放缩法巧解数学题

作者:未知

  放缩法是一种有意识地对相关的数或者式子的取值进行放大或缩小的方法。如果能够灵活掌握运用这种方法,对比较大小、不等式的证明等部分数学试题的解题能起到拔云见雾的效果,尤其针对竞赛问题,是一种解决问题的很好方法,所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的"度",否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面针对该方法的运用,略举几例供同学们欣赏参考。
  一、在比较大小的运用
  例1,比较6336与3663的大小
  解:从直观可以确定6336<3663,因此可直接对6336进行放大,对3663进行缩小,对这种幂的形式的题,最好化成底数相同,比较指数这里底数可化为2为底的数进行比较。
  ∵6336<(26)36=22163663>(25)63=2315 ∴6336<3663
  例2,比较+++… 与1的大小
  解:不难发现到,共有24123+1个分数即23个分数,我们可对+++…进行放大
  即+++…<++… (23个)
  + … < ∴ + …<1
  二、在不等式的证明中的运用
  例3,若 >0且||< ,证明||<
  证明:由已知条件 >0,||<
  可得< <
  ∴+2< +2< +2 ∴ < <
  而 > 0 ∴=||>∴||=||
  这里对分子||进行放大,放大为
  对分母||进行缩小,缩小为,即对||放大
  ∴||=||< =
  例4,求证: < + + +… <
  分析:对前一个不等号的证明可利用<把+ + +… 进行缩小,对后一个不等号证明可利用<[]<()对+ + +… 进行放大。
  证明:∵<
  ∴+ + +… >1+2+3+…+=
  又∵<[]<()
  ∴+ + +… <[2・(1+2+3 +…+)+]= []=()<(+1)=()2
  综合以上结果可得
  < + + +…<
  三、在其它题型中的运用
  例5,求方程++=的正整数解。
  解:由可得 ∴ >>+>0
  ∴ ++<++<++
  ∴ < <
  又∵<解集为>
  <解集为<即<< ∴=3或4
  把=3和=4代入++= =3成立,=4不成立,∴=4舍去。∴已知方程的解是=3。
  例6,设 则的整数部分是多少?
  解:要求的整数部分,应先估计的取值在哪两个数之间。
  ∵
  ∴++…<<++…
  ∴
  ∴>
  ∴90<<90 ∴在90至91之间∴整数部分是90。
  数学的解题方法和技能,需要同学们在平时做题时多积累、多总结,在积累和总结中不断得以提高。
  在证明不等式的过程中,有时根据需要将不等式的一端放大或缩小,利用不等式的传递性达到证题的目的。放缩法是不等式的证明里的一种方法,其他还有比较法,综合法,分析法,反证法,代换法等。常用的放缩法有:(1)舍掉(或加进)一些项;(2)在分式中放大或缩小分子或分母;(3)应用基本不等式进行放缩。放缩法的理论依据主要有:1.不等式的传递性;2.等量加不等量为不等量;3.同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。
  使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要.要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点.掌握放缩技巧,真正做到弄懂、弄通,并且还要根据不同题目的类型,采用恰到好处的放缩方法,才能把题解活,从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力,分析问题和解决问题的能力。

转载注明来源:https://www.xzbu.com/4/view-10309175.htm