论分形理论的系统科学思想

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　　[摘 要]混沌学理论揭示，由非平衡、非线性过程所产生的混沌是一种奇怪吸引子，它具有不规则的、非周期的、错综复杂的、自相似结构的特性。所有的奇怪吸引子的曲线的环状圈既不是一条直线，又不是一个平面，它是什么呢?它不是通常意义下整数维空间的几何对象，而是分形几何的的研究对象。分形理论对象具有分数维、自相似、无标度性的特性，并拥有生成元。分形与分维理论是混沌理论的基础数学工具，为各种复杂性研究提供了“中介关系”的方法，从科学方法论上清算了还原论，解释部分与整体的“关系”，与一般系统论互补，因而包含了丰富的系统科学思想。
　　[关键词]分形；分维；自相似；无标度性；生成元；系统科学思想
　　[作者简介]高剑平，南京大学博士研究生，广西民族大学讲师，广西 南宁，530006
　　[中图分类号]B017；BS0
　　[文献标识码]A
　　[文章编号]1004―4434(2006)08―0009―04
　　
　　一、分形与分维问题的由来及其提出
　　
　　经典几何学研究物体的形状，把自然界的物体形状抽象成各种规则图形：一维的线、二维的面、三维的立体。这些图形无一例外，都是光滑的。
　　然而自然界更多的物体形状是极不规则的、极不光滑的。随处一看，展现在我们眼前的是凹凸不平的地表、弯弯曲曲的河流、枝繁叶茂的树木、盘旋飘舞的雪花、浮动翻卷的云朵、深邃莫测的星空等等。这些用规则的几何图形显然是无法描绘的。包括洛伦兹吸引子在内的所有混沌吸引子的曲线，也是不能用传统的几何方法来加以描绘的。
　　这类物体的形状是什么呢?分形和分维理论告诉我们，它们是分形图形。
　　考察数学发展的历史，分形对象其实早已出现在数学中。19世纪维尔斯特拉斯发现了处处连续但处处不可微的曲线。20世纪初，科赫构造出著名的雪花曲线。这些其实都是今天所说的分形几何的对象，只是囿于当时人们的认识水平，将这类分形曲线排斥在几何研究之外，并称之为“病态曲线”。
　　法国数学家曼德布罗特(MandelbrotBB)注定要名垂青史。1967年，他在美国《科学》杂志上发表题为“英国海岸线有多长”的论文，在这篇论文中作出了令人震惊的答案：英国的海岸线的长度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依赖于测量时所用的尺度。1973年他在法兰西学院讲学期间提出了分形几何的思想，随后又于1975年正式提出了分形(Fractal)这个词，于是分形几何便应运而生。
　　
　　二、分形与分维的定义
　　
　　研究证明，拥有混沌吸引子在内的曲线的环状圈是一个分形物，这种曲线的运动轨线在混沌区的有限范围内无穷次地折叠、盘旋、缠绕，无限细密地填满整个区域。那么，什么是分形和分维的定义呢?
　　1．分形的定义。所谓分形(fractal)是指某种具有不规则、破碎形状的、同时部分又与整体具有某种方式下的相似性，其维数不必为整数维的几何体或演化着的形态。
　　需要注意的是，分形形体不是任意复杂和粗糙的形体或形态，而是“粗糙同时又自相似”的形态。用曼德布罗特的话说，分形几何的对象是介于几何混沌和欧氏几何之间的第三种可能类型的图形。
　　2．分维的定义。什么是分维?简单说，分形的定量表征就是分维。
　　分维是对分形对象内部不均匀性、层次结构性的整体数量特征的刻画，是对分形复杂性程度的度量。复杂的分形一般需同时用多种分维来刻画。维数是刻画图形或几何对象(集合)占有、填充空间规模和整体复杂性的度量。维数不仅能够区分整形(一般具有整数维数)与分形(一般具有分数维数)，而且能够区别分形的复杂程度。包括洛伦兹吸引子在内的曲线的环状圈是一个分形物，分形物无论在大自然还是在人类社会均比比皆是。分形物的维数介于1和2之间。度量规则的几何分形，所用的工具是整数维。区分并度量分形物则必须使用分数维。
　　
　　三、分形的特征
　　
　　1．无标度性。事物是否具有特征尺度，构成了区分是否分形物的判据。尽管所谓的特征尺度并没有严格的定义，但我们在实践中仍然可以具体操作：即在传统的几何学里，特征尺度表明事物基本度量单位的尺度，它是不管你采用何种度量单位都可以一次性穷尽的。比如，圆和球体的特征尺度是其半径和直径；正方形的特征尺度是其边长。而自然界中很多事物均有其特征尺度，恰当的尺度即可度量。
　　有无特征尺度就构成了标度性和无标度性。日本学者高安秀树指出构成特征尺度的两个要件：一是当特征尺度保持不变时，对形体的简化操作不会改变形体的性质，一次操作即可穷尽；二是特征尺度的形体一般是光滑的。而无特征尺度的事物形体尺度则随着测量尺度的变化而变化。曼德布罗特说英国的海岸线的长度是不确定的，其原因在于海岸线的长度随着测量时所用的尺度变化而变化。因为海岸线是具有各种层次的不规则的十分复杂的几何对象，也就是说每一次测量都包含有比前一次测量更小的细节，因而其两端受到某种特征尺度的限制。从运动的角度看，无特征尺度的运动，是一种在不同运动级别、层次均涉及同样运动的过程，这就是无特征尺度运动的自相似性。具有自相似性的范围就叫做无标度区，具有无标度性特征物就是分形物。因此，分形是一种无标度性对象。
　　2．自相似性。类似于海岸线，自然界有很多的这样的复杂曲线，它们都有一个重要的性质――自相似性。自相似性即曲线的局部形态与整体形态相似。也就是说，在不同特征尺度上，曲线的形状相似。这类自相似性的特点存在于一定标度范围内。在不同的尺度上观察它，看到的是类似的图形。类似于洋葱头，包含许多层次，不同层次彼此相似。这种局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似的特征，被曼德布罗特称为自相似性。
　　3．分维性。分形物不能用长度、面积、体积这类规则几何对象的整数维来度量和表征，分形的特征是分数维数。分维是对分形对象内部不均匀性、层次结构性的整体数量特征的刻画。复杂的分形一般需同时运用多种分维来刻画。
　　4．拥有生成元。生成元又叫分形元。分形体系内任何一个相对对立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。它可以是几何实体，也可以是由功能信息支撑的数理模型。判断一个事物是否是分形物的最后一个特征，就是看它是否拥有生成元。
　　
　　四、分形的类别
　　
　　目前学术界为研究方便，将分形区别为四大类。
　　1．自然分形。所涉及的领域极为广泛，内容也相当丰富。凡是自然界客观存在的或经过理论抽象而得到的具有自相似性的几何客体，都称作自然分形。自然分形又可分为下述三种分形：(1)几何分形。系统在结构和形态上存在着自相似性的几何对象，称为几何分形，如线状分形(科赫曲线、高分子链等)、表面分形(二维谢尔宾斯基地毯、催化 剂表面等)、体积分形(谢尔宾斯基海绵、凝胶)等，其中还包括规则分形和随机分形。(2)功能或信息分形。在功能或信息上存在着自相似性的几何对象。功能分形或信息分形所涉及的内容也是十分广泛的。诸如从植物生长到人类发育、从城市边界线的变迁到气象预报等都属于这类范围。(3)能量分形。在能量的传播上存在着自相似性的系统称为能量分形，主要存在于无线电通讯中能量的传输以及地震波的传播等能量传递过程。
　　2．时间分形。系统在演变过程中，在时间轴上具有自相似性的研究对象，称为时间分形。也可称作过程分形、一维时间分形或重演分形。其典型例子如生物学的重演定律或社会发展螺旋式上升规则。比如，太阳黑子的周期性爆炸、地震周期重演等；人类社会特有的螺旋式和波浪式向前演进的规则等。这些都在时间轴上表现出系统发展和演变的自相似性。
　　3．社会分形。人类社会活动和社会现象中所表现出来的自相似性。它几乎涉及到一切社会科学。因此可再分为史学分形、文艺分形、语言分形、美学分形、社会结构分形以及经济分形和管理分形等等。
　　4．思维分形。人类在认识和意识上具有的自相似性。由于人类社会存在着错综复杂的交往关系，所以每个人的思维在一定程度上也反映了周围许多人的思维。许多人中的每个人又反映了别人的思维，这是一个无穷无尽的序列。这就是说，每个人的思维都在某种程度上反映了整体思维。
　　当然，这四类之间并无严格的界限，它们是相互关联的。
　　
　　五、分形与分维理论关于生成与整体的系统科学思想
　　
　　分形与分维理论的创立，其初衷是作为度量和刻画混沌理论中的奇异吸引子和大自然中不连续、不光滑的诸多不规则图形的数学工具而出现的。然而分形和分维理论一经创立，就远远越过它当初设定的范围，迅速被众多学科所引入。它实际上提供了一种全新的思想和方法。因此分形与分维理论蕴涵有深刻而丰富的系统科学思想。
　　1．生成元：大自然藉此生成并演化的内在根据。按照分形理论，分形体系内任何一个相对对立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。这种生成元是广义的，它可以是几何实体，也可以是由功能信息支撑的数理模型。分形不仅可以在形态、功能和信息三方面同时具有自相似性，而且也可以在其中某一方面具有自相似性，这就大大拓宽了分形理论的研究领域和解释范围。自相似性完全相同的情况极为少数，而在统计意义上的相似情况则占绝大多数；相似性还有层次和级别差异，也就是使用生成元的次数和放大倍数的不同。其中级别最低的称为零级生成元，而级别最高的是分形的整体。级别越接近，相似性越好；反之，越差，甚至根本不相似。一旦超出了范围，自相似性不复存在，就无所谓分形。
　　生成元告诉我们，任何系统的整体是如何生成的：生成元含有整体的信息。广义地讲，生成元含有宇宙的信息。正是这种自相似性的生成元，一步步放大并生成了整个宇宙。生成元印证了老子的名言：一生二，二生三，三生万。
　　2．自相似：解释部分与整体的“关系”，与一般系统论互补，一种新的方法论。贝塔朗菲的一般系统论认为，系统整体不等于其孤立部分的总和。整体的性质和规律存在于其各部分(要素)的相互联系、相互作用之中。其侧重点在宏观整体的“关系”，其具体路径是从整体到部分。那么分形论与系统论之间又有什么内在联系呢?分形论告诉人们，分形元是构成整体的一个单位，它虽然与整体相似，但不等同于整体。这是因为整体的复杂性远远大于分形元，而种种复杂性的生成乃是通过分叉与突变。其路径则是从部分到整体。这是对系统论的重要补充。
　　分形论和系统论则分别体现了从两个端点出发的思路。系统论从整体出发来确定部分，其具体进路是沿着宏观到微观来研究整体与部分的“关系”。而分形论则相反，它是通过生成元部分出发来确定整体的性质，其具体进路是沿着从微观到宏观来研究部分与整体的“关系”的。由此可见，一般系统论强调的是部分依赖整体的“关系”，分形论强调的是整体依赖部分的“关系”。于是一般系统论与分形论构成了互补，两者结合，人们看到了一个更符合其本来面目的自然。
　　不仅如此，分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论。分形论中整体与部分之间的“信息同构”，不仅冲破了整体与部分的隔膜，而且较好地指明了整体是由部分发展而来的哲学道路，为人们架起了从部分到整体的认识论桥梁。
　　3．分数维：混沌理论的基础数学工具，为各种复杂性研究提供了“中介关系”的方法。现代数学是在欧氏几何和微积分的基础上发展起来的，微积分是分析数学的最有力的武器，与之相对应的是确定论的经典科学。现代数学图像规则、曲线光滑、处处可微。然而分形学恰恰取消了可微性概念，其对数学思想方法论的冲击是可想而知的。日本学者高安秀树说：“否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。”格莱克则认为具有分数维的分形空间概念刻画的是大自然的另一面，有可能是现实世界空间特性更为复杂且更为普遍的一面。他说：“曼德布罗特的工作提出了对世界的另一种主张，这主张乃是奇形怪状具有意义。凹凸和缠绕比瑕疵更严重地歪曲了欧几里德几何学中的经典形状。它们常常是理解事物本质的关键。”
　　日本学者高安秀树和数学史家格莱克的评价是有道理的。维数概念在数学和物理学中都具有重要的基础性地位。整数维0、1、2代表几何对象占有空间能力连续变化过程中各个部分质变的关节点。然而曼德布罗特的分数维却代表了这些不同关节点的“中介关系”的过渡。在整形几何中：点与线、线与面、面与体是性质全然不同的几何对象。然而分形几何否定了这种截然分明的界限，揭示了在点与线之间存在康托集这类非点非线、亦点亦线的“中介关系”现象；在线与面之间则存在着埃农吸引子、谢尔宾斯基地毯这类非线非面、亦线亦面的“中介关系”现象；而在面与体之间又存在着洛伦兹吸引子、谢尔宾斯基海绵这类非面非体、亦面亦体的“中介关系”现象。这在以往几何学中是不可想象的。
　　分形理论揭示的种种“中介关系”的存在，为复杂性系统科学的研究提供了思想和方法。分形概念足够有能力刻画大自然的几何复杂性。曼德布罗特认为，一个分形集是由形、机遇(随机性)和维数来决定。在分形曲线或曲面上进行的运动，必定具有随机性。自然界中分形的形成都与某种随机过程分不开，而自相似性又具有统计意义。这种随机性就构成一个系综。混沌研究表明，分形不仅是产生混沌即产生内随机性的根源，而且分形还是产生模糊性的根源之一。相空间吸引域边界的分形特征，导致不同运动体制之间界限的不清晰性就是例证。而混沌之中产生的有序，为种种不同复杂系统中发现规律性开辟了道路，种种无规则性都以出人意料的混沌规则方式反映出来了。分形是产生多种复杂性的几何根源，分数维为复杂性研究提供了思想和方法。
　　分数维的理论价值已经愈来愈在实践中得到肯定。这一工具已广泛地被物理学家、化学家、地震学家、冶金学家、生物学家还有经济学家等频频使用。这些使用中最为引人注目的当属计算机成像技术。运用分数维几何原理，由计算机描绘出来的自然图景――分维的弯曲的水面、分维的蜿蜒的山脉、分维的脉络清晰的血管、分维的跳动的心脏乃至其他器官、分维的翻滚卷动的云彩――几乎可以乱真。尤其是分维的跳动心脏和分维的翻卷的云彩等动态的图像，让人们看到了大自然是如何在在电脑上被模拟、演化、生成。在实验方面，人们则作出了锌金属沉积“树”生长的实验，这种锌金属沉积“树”图形与计算机模拟图极为相似，不仅在枝状结构上，而且在分维上都基本一致。这说明它们在本质上具有相通的物理机理。现在人们在不同领域提出了许多种有关分数维形态生长的概率性模型。
　　4．分形论：清算还原论。无论是一般系统论的从整体到部分的“关系”，还是分形论的从部分到整体的“关系”，尽管各自看问题和处理方式不同，但在方法论上都是反对和清算还原论的。
　　还原论有一个思想前提，是相信复杂事物的整体特性经过适当分解可以转化为比较简单的部分来研究。一般系统论率先突围，从经典科学的“实体”的分析的科学方法成功地转向了系统科学的整体的透视的“关系”的方法。分形论是旗帜鲜明地站在系统科学的阵营的。分形论同样是用整体的方法，只不过是与一般系统论的路径依赖有些不同。分形论的处理方法是按分形元来处理。若不按分形元来划分对象，分形的对象，分形的基本特征之一――自相似性就会被破坏，如此则划分出来的部分对整体的了解就没有价值。若按分形元来划分，则部分与整体一样复杂。在这里，还原论的分析方法失去存在价值。研究分形需要系统观点和方法，研究复杂系统则需要分数维作为工具。因此，分形学的产生属于清算还原论、倡导系统科学方法论，符合现代科学发展的总趋势。
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