特征0的Cartan型李超代数W及其导子
作者 : 未知

  刘晨宇       摘 要:本文在研究李超代数W基础上,给出在特征为0时其导子以及性质.    关键词:Cartan李超代数;导子:特征    引言
   李代数的理论不断得到完善和发展,其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域.李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学的分支.李超代数的偶部分恰为李代数,其奇部分为偶部分的自然模.因此,李超代数的研究往往要借鉴李代数的结果和方法.近年来,李超代数及其相关理论在更多方面取得了实质性成果.(参见文献[3])本文在研究阶化模李超代数的简单性质的基础上,进一步给出了特征0时W的生成元及其导子.
   1、基础知识
   在本节中令F为任意数域,Z={0,1}为数域中的两个元素,本文中,所有的向量空间,线性映射,张量积都是在基础域F下的。回忆一下,一个向量超空间是Z2-阶化向量空间V=V0�V1一个超代数是一个向量超空间A=A0+A1赋予了一个像AθAμ�Aθ=μ,�θ,μ∈Z2的代数结构。
   定义O(m)为除幂代数,在域F上基为{x(α)|α∈Nm0}。Λ(n)为域F上的外代数,有n个变量xm+1,xm+2,…,xm+n。通过张量积定义O(m,,n)=O(m)�FΛ(n),很明显是一个Z2-阶化的结合超代数,他包括了Ο(n)的平凡Z2-阶化和Λ(n)的自然Z2-阶化。即O(m,,n)是超交换。
   令Y0:={1,2,…,m},令为了表示简单我们m+1=1′,m+2=2′,…,m+n=n′,则Y1={1′,2′,…,n′}以及Y:=Y0∪Y1。集合Bk:={[i1,i2,…,ik]|1′≤i1≤…≤n′}以及Β:=Β(n)=∪nk=0Βk,这里Β0=0。对于u=[i1,i2,…,ik]∈Βk,|u|:=k和xu:=xi1xi2…xik。
   引理1.1:设D1,D2,…,Dm+n为O(m,,n)的线性变换。记
  
  
  Dr(x(α)xμ)=x(α-εr)xu,�r∈Y0
  x(α)�rxu,�r∈Y1
   其中�r是Λ(n)的特殊导子,�r∈Y1.则Dr∈Der0(∧(m,n)),�i∈Y0;Dr∈Der1(∧(m,n)),�i∈Y1,有D1,D2,…,Dm+n是代数O(m,,n)的超导子。
   定义1.1 设G=G0�G1是李超代数,W是G的子空间,若W=W0�W1,其中W0=W∩W0,W1=W∩W1,则称W是G的Z2-阶化子空间。
   我们定义p(a)=θ为齐次元素的奇偶性,θ={0,1}。这里假设p(x)做为符号出现时,那么x都是Z2-齐次的。
   定义1.2 设G是李超代数.若G=�i∈ZGi,其中Gi是G的Z2-阶化子空间,并且GiGj�Gi+j,�i,j∈Z,则称G是Z-阶化李超代数.(参见文献[2])
   设g和V都是有限维的,g=�r∈Zgr是Z-阶化的。V=�r∈ZVr是Z-阶化g-模, Der(g,V)=�r∈ZDerr(g,V)则是Z-阶化g-模。其中
  
  
  Derr(g,V):={D∈Der(g,V)|D(gi)�Vr+i,�i∈z}
   2、李超代数W的Z-阶化性质
   令W(m,n;t)={∑r∈YfrDr|fr∈O(m,n;t),r∈Y}为一个李超代数,是一个有限维的但李代数。为了方便我们W(m,n;t)把简写为W。由以上的定义可知W=W0�W1。
   一个李超代数是一个超代数满足超反交换和超Jocobi,等式令g是一个李代数,V是一个g一模,线性映射D:g→V:做从g到V的导子。满足D(xy)=x・D(y)-yD(x).�x,y∈g.一个导子D:g→V被叫做内导子,满足存在v∈V有D(x)=x・v,�x∈g。定义Der(g,V)为从g到V的导子空间。则Der(g,V)是HomF(g,V)的一个g-子模。另外g和V都是有限维的.g=�r∈Zgr则是Z-阶化的。V=�r∈ZVr是Z-阶化g-模, Der(g,V)=�r∈ZDerr(g,V)则是Z-阶化g-模。其中
   Derr(g,V):={D∈Der(g,V)|D(gi)�Vr+i,�i∈z}
   3、特征0的W的生成元以及导子
   命题 3.1 设Q={xiDj|i∈Y1,j∈Y1},则Q生成W。
   证明:设Q生成的子代数为R。
   (1)首先我们证明xEDY∈R。为此,对k用归纳法证明x1x2…xkDY∈R。
   当k=1时,x1′D1′∈R�Q。
   设k>1,假设x1′x2′…xk-1∈R。因为
  
  
  xk′D1′=[xk′D1′,x1′D1′]∈R
   所以x1′x2′…xk′D1′=[x1′x2′…xk′-1D1′,x1xkD1′]∈R。
   归纳法完成,于是可知xEDY∈R。
   (2)其次证明xEDj∈M,j≠1′
   任取j∈Y1,有xEDj=[xED1,x1′Dj]∈R得证。
   (3)对于xμDj∈M,j≠1′这种情况。令t=|E|-|μ|来证明xμDj∈M,j≠1′。
   当t=0时,|μ|=|E|由(2)显然成立。
   当t≥1时,|μ|-|E|≥1,存在k′∈Y1使得xk′xμ≠0,由数学归纳法知xk′xμDj∈R。
   当t=k′时,即|μ|-|E|=k有xμDj=[Dk,xk′xμDj]∈R,归纳发完成。
   由(3)知R=Q即Q生成W。
   命题3.2若t≥0,则Dert(W)=adWt。
   命题3.3若t=0,则Der-1(W)=adW-1。(证明参见文献[1])
   命题3.4设ζ∈Der-t(W),t>1。若ζ(xiDj)=0,�i,j∈Y1则ζ=0。
   证明:因为ζ(xiDj)∈W-t=0,�i,j∈Y1所以得证。
   命题3.5设t>1,Der-t(W)=0。
   证明显然。
   命题3.6Der(W)=adW。
   结合以上命题即得证。(作者单位:哈尔滨师范大学)
  
  参考文献:
  [1] Wende Liu and Baoling Guan. “Derivation form the Even Parts into the Odd Parts for Lie Supperalgebras W and S”, Journal of Lie Theory Volume 17(2007) 449-468 Helodermann Verlag.
  [2] 张永正,刘文德.模李超代数.北京:科学出版社,2004
  [3] Wende Liu and Yongzheng Zhang.“Derivations and the Even Parts for Modular Lie Superalgebras of Cartan Type W and S” , International Joural of Algebra and Computation Vol.17,No.4(2007) 661-714 World Scientific Publishing Company
  [4] V. M. Petrogradski. Identities in the enveloping algebras for modular Lie superalgebras.J. Algebra 145 (1992): 1�21.
  
  

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