关于完全数的几个结论

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　　摘 要：完全数，古老、神秘、迷人。本文通过自然数划分为10个数族的分类方法、终端数字和的思想方法的建构，在深入分析完全数的因数特点的基础上揭示了它的神秘面纱，提出了探寻完全数的路径与方法，且由此有序地检索出了相应数域的一系列的完全数。
　　关键词：性质特征；探寻方法
　　小学数学课本是这样描述完全数的：6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。迄今为止，据资料称已经发现了48个完全数。在探索完全数的漫长过程中，人们对完全数的认识并不全面、深入，对寻找完全数的路子也不清晰，寻找完全数的进程乏力而缓慢。
　　完全数到底是怎样的一类数，能否有的放矢地找出它们呢？本文先从自然数分类的新方法以及终端数字和说起。
　　一、自然数分类的新方法
　　常见的自然数分类方法有两种，一是把自然数区分为奇数与偶数，二是把自然数（1除外）分为合数与质数，这两种分类方法都是依据自然数的某种属性来划分的。
　　如果按照个位上的数字分，自然数（0除外）可以分为如下10类：
　　10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、110……
　　1.11、21、31、41、51、61、71、81、91、101……
　　2.12、22、32、42、52、62、72、82、92、102……
　　3.13、23、33、43、53、63、73、83、93、103……
　　4.14、24、34、44、54、64、74、84、94、104……
　　5.15、25、35、45、55、65、75、85、95、105……
　　6.16、26、36、46、56、66、76、86、96、106……
　　7.17、27、37、47、57、67、77、87、97、107……
　　8.18、28、38、48、58、68、78、88、98、108……
　　9.19、29、39、49、59、69、79、89、99、109……
　　上述10类数，按照它们个位上的数字分别命名为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族。其中0、2、4、6、8氏数族统称为偶数数族，1、3、5、7、9氏数族统称奇数数族。作为数族标识的0、1、2……9等10个个位上的数字分别称为数族号。数族号以外的部分称为“数序码”。每一个数族里的自然数都可以看成是由“数序码”和“数族号”两部分构成的，一位数的数序码视为0。0氏数族中各数的数序码表示该数是0氏数族里的第几个数，如160这个数，由数序码16可知160是0氏数族里的第16个数。1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族各有1个数序码为0的数，说这些数族中的某个数是该数族的第几个数时，它的数序码必须加上l。如“267”中的“7”是数族号，“26”是数序码，“267”就是7氏数族的第（26+1）个数。再如“2459176”，由该数的数序码和数族号就知道它是6氏数族里的第（ 245917+1）个数。在指明数族的条件下，各数族的每一个数可以用数序码表示.数序码可以按照整数的四则运算法则进行计算。
　　自然数的末两位数字称为数尾码，如01、11、21……91就是1氏数族的10类数尾码，一位数的数尾码是由0和它本身构成的，如01、03、07、09等。
　　0.1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族里的数分别可以用10+10n（n≥0，下同）1+10n、2+10n、3+10n、4+10n、5+10n、6+10n、7+10n、8+10n、9+10n的代数式表示。
　　深入分析1、3、7、9氏数族相邻数的关系以及合、质数的分布、排列状况，能够看出：1、3、7、9氏数族都是公差为10的无穷等差数列，这样的无穷等差列称为数族等差数列，别称长数列，它们的第一个数（首项）称为起始数，又叫做底。
　　1.3、7、9氏数族等差数列里，各自起始数至任意数之间的3个或3个以上的一列数都叫做数族短数列，简称短数列，如7、17、27，7、17、27、37、47、57、67、77，7、17、27……1347等都是7氏数族短数列。
　　观察、分析1、3、7、9氏数族短数列，能够发现：任意长度的数族短数列里都有若干个质数，且质数排列是不规则的。这个特性，称为数族短数列基本性质。
　　0除外的自然数按照个位上的数字分为10类的意义在于：有利于分门别类地、深入地认识自然数。
　　二、终端数字和
　　数字和，人们并不陌生，它指的是一个数各数位上的数字相加后的和。直接求得的数字和称为初始数字和，如“24”的初始数字和是2+4=6，“357”的初始数字和是3+5+7=15。
　　所谓终端数字和，是指大于9的初始数字和被继续计算数字和而得到的数，即一个数的终了、末端数字和。初始数字和不大于9的可以视为终端数字和。
　　根据终端数字和的含义，对整、小数终端数字和计算法则作如下约定：
　　求一个数的终端数字和，先求出它的初始数字和；如果得到的和大于9，则再求这个“和”的数字和；如果还大于9，继续求“和”的数字和，直至其数字和不大于9为止。
　　我们用“=”表示求终端数字和，例如求“346”的终端数字和：346=3+4+6=13=1+3=4；又如643.87的终端数字和计算：643.87=6+4+3+8+7=28=2+8=l0=1+0=1。很显然，初始数字和与终端数字和都是关于整、小数属性的数学概念，终端数字和是以初始数字和为基础的，初始数字和是关于整数属性的具体、直接描述，而终端数字和则是对整、小数共性的概括性表述。
　　分别求出若干个不同数族的长度不一的短数列的终端数字和，能够发现：O除外的所有自然数的终端数字和只有1、2、3、4、5、6、7、8、9等9个类别，任意自然数的终端数字和只能是这9个类别中的一类。 　　观察、分析用终端数字和刻画的一列列自然数，能够发现终端数字和有如下一些性质：
　　1.终端数字和是所有自然数（0除外）的一种共性，它的大小与自然数的大小无关。
　　例如，31、103、2137、8419等四个数的大小不等，但它们的终端数字和却都是4。
　　2. 一个自然数的末尾、中间添上或去掉若干个零，它的终端数字和不变。
　　例如，47添上零变为470、 40070，其终端数字和依然如故。
　　3.一个多位数交换各数位上数字的位置，它的终端数字和不变。
　　例如，563交换数位上数字后的536、653、356、365等数的终端数字和与563的终端数字和“5”一样大。
　　4.每个数族里终端数字和分别为3、6、9的自然数，都含有因数3；l、3、7、9氏数族里终端数字和为1、2、4、5、7、8的自然数都是非3奇数，它们分别既有合数又有质数。
　　5.终端数字和的基本性质。0除外的任意终端数字和的自然数增加或减少90n（n≥1）倍，这个自然数的终端数字和不变，所属数族也不改变。
　　例如，47的终端数字和为2，47分别增加90、540、1170后的137、587、1217等数的终端数字和都是2。
　　6.0除外的任意终端数字和的自然数与终端数字和为9的自然数相乘，积的终端数字和一定等于9。
　　例如，5分别与9、36、180相乘的积45、180、900的终端数字和分别都是9。
　　7.每个数族里的自然数（0除外），分别是依照一定的终端数字和顺序而循环渐进的。请看下面的用终端数字和描绘的各数族系列自然数数谱（括号里的数表示终端数字和）：
　　如果将以上的自然数数列扩展开来，能更清晰地显示出它们总是以每9个数为一个轮回而螺旋上升的规律，这样的轮回规律称为数族周期。不分数族的自然数按照1、2、3、4、5……9的顺序依次排列起来的系列数也是以终端数字和作为标准每9个数一个轮回的，这种轮回称为自然数周期。这样的性质称为周期性，周期性是自然数的一个显著特征。
　　8.同一数族终端数字和相等的自然数，它们的数序码的终端数字和也一定相等。
　　这是很容易推导出来的，如1氏数族里终端数字和同为“5”的221、2021、3551、1751、6431、11921等数，当其都去掉数族号“1”后，则其数序码的终端数字和是5-1=4。
　　9.终端数字和能够将0除外的自然数概括成终端数字和为1、2、3、4、5、6、7、8、9的9类数，如1、91、181、271、 361、451、54l、631……等都是终端数字和为1的数。终端数字和可以把某类特定数概括起来，如终端数字和是7的质数6l、151、241、331、42l…… 终端数字和相等的数叫做等价数，它又区分为等价奇合数，等价A因数等。
　　10.如果一个自然数的终端数字和是9，那么这个自然数一定能够被9整除；如果一个自然数的终端数字和是1、2、3、4、5、6、7、8，那么这个自然数与它的终端数字和的差一定能够被9整除。
　　终端数字和的运算法则如下：
　　1.两个数相加，和的终端数字和等于两个加数终端数字和的和。如7+56=63中，7、56、63的终端数字和分别是7、2、9，而7+2=9。又如3.4+0.7=4.1中，3.4、0.7、4.1的终端数字和分别是7、7、5，和的终端数字和是：7+7=14=1+4=5。
　　2.两个数相减，差的终端数字和等于被减数、减数终端数字和的差。如917-183=734中，917、183、734的终端数字和分别是8、3、5，而8-3=5。又如11.6-2.1=9.5中，l1.6、2.1、9.5的终端数字和分别是8、3、5，差的终端数字和是：8-3=5。不够减时，要将被减数增加若干个9。
　　3.两个数相乘，积的终端数字和等于两个因数终端数字和的积。如17×19=323中，17、19、323的终端数字和分别是8、1、8，8×l=8。又如5.4×2.5=13.5中，5.4、2.5、13.5的终端数字和分别是9、7、9，求积的终端数字和：9×7=63=6+3=9。
　　4.两个数相除，商的终端数字和等于被除数、除数终端数字和的商。如1159÷61=19中，1159、61、19的终端数字和分别是7、7、1，而7÷7=1。又如3.6÷0.2=18中，3.6、0.2、18的终端数字和依次是9、2、9，求商的终端数字和：9÷2=18÷2=9。不能整除时，要将被除数增加若干个9，使之能整除。
　　5.终端数字和的分解与组合。任何终端数字和都可以分解为两个终端数字和，任意两个终端数字和都可以组合成一个终端数字和，具体是：
　　1=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5 2=1+1=2+9=3+8=4+7=5+6
　　3=1+2=3+9=4+8=5+7=6+6 4=1+3=2+2=4+9=5+8=6+7
　　5=1+4=2+3=5+9=6+8=7+7 6=1+5=2+4=3+3=6+9=7+8
　　7=1+6=2+5=3+4=7+9=8+8 8=1+7=2+6=3+5=4+4=8+9
　　9=1+8=2+7=3+6=4+5=9+9
　　终端数字和思想方法，有助于人们深化对数学知识的认识。
　　分析终端数字和运算法则，能够发现，0除外的整、小数四则运算其实就是终端数字和的运算，因而可以用终端数字和思想方法去检验整、小数四则运算正确与否。如计算889×5768=5127742后，可即时用889的终端数字和“7”与5768的终端数字和“8”相乘，即7×8=56=2，而5127742的终端数字和却是“1”，则说明889×5768=5127742是错误的，于是当即改正。 　　这样的做法具有积极的教学意义，比如教师掌握了它就能够对学生上台板演或独立解答整、小数四则运算的结果快速地作出评判；如果学生掌握了它，就能够主动地检验自己的答案，提高解题的正确性，乃至改变以往仅用四则运算的逆运算检验答案的单一做法，提升数学能力和思维品质。
　　三、探寻完全数的几个结论
　　一个不很大的完全数，能够用短除法来探析它可以表示为怎样的两个因数的积。请看下面三个例子：
　　显而易见，496的除数是24，商是31，496=24×31。8128的除数是26，商是127，8128=26×127。33，550，336的除数是212，商是8191，33，550，336=212×8191。进一步分析能够得出：31=25-1=24+1-1，127=27-1=26+1-1，8191=213-1=212+1-1，且31、127、8191都是质数，于是就有496=24×（24+1-1），8128=26×（26+1-1），33，550，336=212×（212+1-1）。将这三个式子概括、抽象成一般式，即为：C=2n・（2n+1-1）（n是≥2的偶数）。这个式子表明：如果（2n+1-1）是一个质数，那么2n・（2n+1-1）算出的数一定是一个完全数。
　　观察、分析如上式子以及三个例子中的相关数据，能够得出这些结论：
　　1.例1中的496是被2分4次连续整除的，例2中的8128是被2分6次连续整除的，例3中33，550，336是被2分12次连续整除的。于是说：能够被因数2分偶数次连续整除，且商为特定质数的偶数就是完全数。所谓特定质数，它包含三层意思。一是这些质数只能够表示为23+2m-1（m≥0，下同），并非任意的质数；二是它们的终端数字和必须是1或4或7；三是它们的数尾码特色，由（25+4m-1）算出的数的数尾码只有31、11、91、71、51这5类，由（23+4m-1）算出的数的数尾码也只有07、27、47、67、87这5个类型。
　　2.24+4m算出的数都是6氏数族里的数，（25+4m-1）算出的数都是1氏数族的数，24+4m・（25+4m-1）算出的数一定是6氏数族的偶数。22+4m算出的数都是4氏数族的数，（23+4m-1）算出的数都是7氏数族里的数，22+4m・（23+4m-1）算出的数一定是8氏数族里的偶数。所以说，只有6氏、8氏数族里才有完全数。
　　3.22+4m依次算出的数的终端数字和是4、1、7，4、1、7……反复的，（23+4m-1）依次算出的数的终端数字和是7、1、4，7、1、4……反复的，这两组反复的终端数字和分别是4与7、1与1、7与4对应的，当22+4m・（23+4m-1）时，即有4×7=28=2+8=10=1+0=1，或7×4=28=2+8=1，或1×1=1。同样地，24+4m依次算出的数的终端数字和是7、4、1，7、4、1……反复的，（25+4m-1）依次算出的数的终端数字和是按照4、7、1，4、7、1……反复的，24+4m・（25+4m-1）得出的数终端数字和也都是1。这就是说，6除外的所有完全数的终端数字和一定是1。
　　4.如果（23+4m-1）是一个质数，那么，22+4m・（23+4m-1）算出的数一定是一个完全数；如果（25+4m-1）是一个质数，那么24+4m・（25+4m-1）算出的数一定是一个完全数。如8191是质数，则4，096与8，191的积33，550，336就必定是完全数。这些，既是完全数的性质特征，又是获取完全数的路径、方法。
　　5.找到相应的质数，是发现完全数的关键所在。（23+4m-1）、（25+4m-1）算出来的数分别是7、1氏数族里的奇数，因而人们不必从3、9氏数族里寻觅质数，只有找到7、1氏数族里的相关质数，才能发现新的完全数。（23+4m-1）所指的数依次是7、127、2047、32767、524287……等定值、定数尾码的数，（25+4m-1）所指的数依次是31、511、8191、131071、2097151……等定值、定数尾码的数，因而找寻质数时只要直奔这样的数而去。
　　笔者以1、7氏数族中奇合数的数量关系为支撑，运用终端数字和思维，借助电子计算机的优势，有序地计算出了1、7氏数族一定数域里的17个特定质数，并根据完全数的性质特征，快速地得到了如下17个完全数。
　　24・（25-1） 212・（213-1） 216・（217-1）
　　260・（261-1） 288・（289-1） 2520・（2521-1）
　　22280・（22281-1） 23216・（23217-1） 22・（23-1）
　　26・（27-1） 218・（219-1） 230・（231-1）
　　2106・（2107-1） 2126・（2127-1） 2606・（2607-1）
　　21278・（21279-1） 22202・（22203-1）
　　可以肯定地说，人们凭借电子计算机大数据计算技术，以获取完全数的路径、方法为引领，一定能够在本文刊发后不久的时日里发现新的完全数。
　　有些偶数也可以表示为2n・（2n+1-1），但其（2n+1-1）却是合数，因而这样的偶数不是完全数，如536，854，528=214・（215-1）=16384×32767，32767是合数，则536854528不是完全数。据此，探寻完全数时一定要把握住（23+4m-1）、（25+4m-1）必须是质数的关键，切不可被假象所迷惑。
　　6.完全数犹如沧海一粟，这与它不仅只存在于6、8氏两个数族，而且又是按照2n・（2n+1-1）的几何级数扩展的，还要满足特定质数之条件不无关系。
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