关于完全数的几个结论
作者 : 未知

  摘 要:完全数,古老、神秘、迷人。本文通过自然数划分为10个数族的分类方法、终端数字和的思想方法的建构,在深入分析完全数的因数特点的基础上揭示了它的神秘面纱,提出了探寻完全数的路径与方法,且由此有序地检索出了相应数域的一系列的完全数。
  关键词:性质特征;探寻方法
  小学数学课本是这样描述完全数的:6的因数有1、2、3、6,这几个因数的关系是:1+2+3=6。像6这样的数,叫做完全数(也叫完美数)。迄今为止,据资料称已经发现了48个完全数。在探索完全数的漫长过程中,人们对完全数的认识并不全面、深入,对寻找完全数的路子也不清晰,寻找完全数的进程乏力而缓慢。
  完全数到底是怎样的一类数,能否有的放矢地找出它们呢?本文先从自然数分类的新方法以及终端数字和说起。
  一、自然数分类的新方法
  常见的自然数分类方法有两种,一是把自然数区分为奇数与偶数,二是把自然数(1除外)分为合数与质数,这两种分类方法都是依据自然数的某种属性来划分的。
  如果按照个位上的数字分,自然数(0除外)可以分为如下10类:
  10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、110……
  1.11、21、31、41、51、61、71、81、91、101……
  2.12、22、32、42、52、62、72、82、92、102……
  3.13、23、33、43、53、63、73、83、93、103……
  4.14、24、34、44、54、64、74、84、94、104……
  5.15、25、35、45、55、65、75、85、95、105……
  6.16、26、36、46、56、66、76、86、96、106……
  7.17、27、37、47、57、67、77、87、97、107……
  8.18、28、38、48、58、68、78、88、98、108……
  9.19、29、39、49、59、69、79、89、99、109……
  上述10类数,按照它们个位上的数字分别命名为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族。其中0、2、4、6、8氏数族统称为偶数数族,1、3、5、7、9氏数族统称奇数数族。作为数族标识的0、1、2……9等10个个位上的数字分别称为数族号。数族号以外的部分称为“数序码”。每一个数族里的自然数都可以看成是由“数序码”和“数族号”两部分构成的,一位数的数序码视为0。0氏数族中各数的数序码表示该数是0氏数族里的第几个数,如160这个数,由数序码16可知160是0氏数族里的第16个数。1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族各有1个数序码为0的数,说这些数族中的某个数是该数族的第几个数时,它的数序码必须加上l。如“267”中的“7”是数族号,“26”是数序码,“267”就是7氏数族的第(26+1)个数。再如“2459176”,由该数的数序码和数族号就知道它是6氏数族里的第( 245917+1)个数。在指明数族的条件下,各数族的每一个数可以用数序码表示.数序码可以按照整数的四则运算法则进行计算。
  自然数的末两位数字称为数尾码,如01、11、21……91就是1氏数族的10类数尾码,一位数的数尾码是由0和它本身构成的,如01、03、07、09等。
  0.1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族里的数分别可以用10+10n(n≥0,下同)1+10n、2+10n、3+10n、4+10n、5+10n、6+10n、7+10n、8+10n、9+10n的代数式表示。
  深入分析1、3、7、9氏数族相邻数的关系以及合、质数的分布、排列状况,能够看出:1、3、7、9氏数族都是公差为10的无穷等差数列,这样的无穷等差列称为数族等差数列,别称长数列,它们的第一个数(首项)称为起始数,又叫做底。
  1.3、7、9氏数族等差数列里,各自起始数至任意数之间的3个或3个以上的一列数都叫做数族短数列,简称短数列,如7、17、27,7、17、27、37、47、57、67、77,7、17、27……1347等都是7氏数族短数列。
  观察、分析1、3、7、9氏数族短数列,能够发现:任意长度的数族短数列里都有若干个质数,且质数排列是不规则的。这个特性,称为数族短数列基本性质。
  0除外的自然数按照个位上的数字分为10类的意义在于:有利于分门别类地、深入地认识自然数。
  二、终端数字和
  数字和,人们并不陌生,它指的是一个数各数位上的数字相加后的和。直接求得的数字和称为初始数字和,如“24”的初始数字和是2+4=6,“357”的初始数字和是3+5+7=15。
  所谓终端数字和,是指大于9的初始数字和被继续计算数字和而得到的数,即一个数的终了、末端数字和。初始数字和不大于9的可以视为终端数字和。
  根据终端数字和的含义,对整、小数终端数字和计算法则作如下约定:
  求一个数的终端数字和,先求出它的初始数字和;如果得到的和大于9,则再求这个“和”的数字和;如果还大于9,继续求“和”的数字和,直至其数字和不大于9为止。
  我们用“=”表示求终端数字和,例如求“346”的终端数字和:346=3+4+6=13=1+3=4;又如643.87的终端数字和计算:643.87=6+4+3+8+7=28=2+8=l0=1+0=1。很显然,初始数字和与终端数字和都是关于整、小数属性的数学概念,终端数字和是以初始数字和为基础的,初始数字和是关于整数属性的具体、直接描述,而终端数字和则是对整、小数共性的概括性表述。
  分别求出若干个不同数族的长度不一的短数列的终端数字和,能够发现:O除外的所有自然数的终端数字和只有1、2、3、4、5、6、7、8、9等9个类别,任意自然数的终端数字和只能是这9个类别中的一类。   观察、分析用终端数字和刻画的一列列自然数,能够发现终端数字和有如下一些性质:
  1.终端数字和是所有自然数(0除外)的一种共性,它的大小与自然数的大小无关。
  例如,31、103、2137、8419等四个数的大小不等,但它们的终端数字和却都是4。
  2. 一个自然数的末尾、中间添上或去掉若干个零,它的终端数字和不变。
  例如,47添上零变为470、 40070,其终端数字和依然如故。
  3.一个多位数交换各数位上数字的位置,它的终端数字和不变。
  例如,563交换数位上数字后的536、653、356、365等数的终端数字和与563的终端数字和“5”一样大。
  4.每个数族里终端数字和分别为3、6、9的自然数,都含有因数3;l、3、7、9氏数族里终端数字和为1、2、4、5、7、8的自然数都是非3奇数,它们分别既有合数又有质数。
  5.终端数字和的基本性质。0除外的任意终端数字和的自然数增加或减少90n(n≥1)倍,这个自然数的终端数字和不变,所属数族也不改变。
  例如,47的终端数字和为2,47分别增加90、540、1170后的137、587、1217等数的终端数字和都是2。
  6.0除外的任意终端数字和的自然数与终端数字和为9的自然数相乘,积的终端数字和一定等于9。
  例如,5分别与9、36、180相乘的积45、180、900的终端数字和分别都是9。
  7.每个数族里的自然数(0除外),分别是依照一定的终端数字和顺序而循环渐进的。请看下面的用终端数字和描绘的各数族系列自然数数谱(括号里的数表示终端数字和):
  如果将以上的自然数数列扩展开来,能更清晰地显示出它们总是以每9个数为一个轮回而螺旋上升的规律,这样的轮回规律称为数族周期。不分数族的自然数按照1、2、3、4、5……9的顺序依次排列起来的系列数也是以终端数字和作为标准每9个数一个轮回的,这种轮回称为自然数周期。这样的性质称为周期性,周期性是自然数的一个显著特征。
  8.同一数族终端数字和相等的自然数,它们的数序码的终端数字和也一定相等。
  这是很容易推导出来的,如1氏数族里终端数字和同为“5”的221、2021、3551、1751、6431、11921等数,当其都去掉数族号“1”后,则其数序码的终端数字和是5-1=4。
  9.终端数字和能够将0除外的自然数概括成终端数字和为1、2、3、4、5、6、7、8、9的9类数,如1、91、181、271、 361、451、54l、631……等都是终端数字和为1的数。终端数字和可以把某类特定数概括起来,如终端数字和是7的质数6l、151、241、331、42l…… 终端数字和相等的数叫做等价数,它又区分为等价奇合数,等价A因数等。
  10.如果一个自然数的终端数字和是9,那么这个自然数一定能够被9整除;如果一个自然数的终端数字和是1、2、3、4、5、6、7、8,那么这个自然数与它的终端数字和的差一定能够被9整除。
  终端数字和的运算法则如下:
  1.两个数相加,和的终端数字和等于两个加数终端数字和的和。如7+56=63中,7、56、63的终端数字和分别是7、2、9,而7+2=9。又如3.4+0.7=4.1中,3.4、0.7、4.1的终端数字和分别是7、7、5,和的终端数字和是:7+7=14=1+4=5。
  2.两个数相减,差的终端数字和等于被减数、减数终端数字和的差。如917-183=734中,917、183、734的终端数字和分别是8、3、5,而8-3=5。又如11.6-2.1=9.5中,l1.6、2.1、9.5的终端数字和分别是8、3、5,差的终端数字和是:8-3=5。不够减时,要将被减数增加若干个9。
  3.两个数相乘,积的终端数字和等于两个因数终端数字和的积。如17×19=323中,17、19、323的终端数字和分别是8、1、8,8×l=8。又如5.4×2.5=13.5中,5.4、2.5、13.5的终端数字和分别是9、7、9,求积的终端数字和:9×7=63=6+3=9。
  4.两个数相除,商的终端数字和等于被除数、除数终端数字和的商。如1159÷61=19中,1159、61、19的终端数字和分别是7、7、1,而7÷7=1。又如3.6÷0.2=18中,3.6、0.2、18的终端数字和依次是9、2、9,求商的终端数字和:9÷2=18÷2=9。不能整除时,要将被除数增加若干个9,使之能整除。
  5.终端数字和的分解与组合。任何终端数字和都可以分解为两个终端数字和,任意两个终端数字和都可以组合成一个终端数字和,具体是:
  1=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5 2=1+1=2+9=3+8=4+7=5+6
  3=1+2=3+9=4+8=5+7=6+6 4=1+3=2+2=4+9=5+8=6+7
  5=1+4=2+3=5+9=6+8=7+7 6=1+5=2+4=3+3=6+9=7+8
  7=1+6=2+5=3+4=7+9=8+8 8=1+7=2+6=3+5=4+4=8+9
  9=1+8=2+7=3+6=4+5=9+9
  终端数字和思想方法,有助于人们深化对数学知识的认识。
  分析终端数字和运算法则,能够发现,0除外的整、小数四则运算其实就是终端数字和的运算,因而可以用终端数字和思想方法去检验整、小数四则运算正确与否。如计算889×5768=5127742后,可即时用889的终端数字和“7”与5768的终端数字和“8”相乘,即7×8=56=2,而5127742的终端数字和却是“1”,则说明889×5768=5127742是错误的,于是当即改正。   这样的做法具有积极的教学意义,比如教师掌握了它就能够对学生上台板演或独立解答整、小数四则运算的结果快速地作出评判;如果学生掌握了它,就能够主动地检验自己的答案,提高解题的正确性,乃至改变以往仅用四则运算的逆运算检验答案的单一做法,提升数学能力和思维品质。
  三、探寻完全数的几个结论
  一个不很大的完全数,能够用短除法来探析它可以表示为怎样的两个因数的积。请看下面三个例子:
  显而易见,496的除数是24,商是31,496=24×31。8128的除数是26,商是127,8128=26×127。33,550,336的除数是212,商是8191,33,550,336=212×8191。进一步分析能够得出:31=25-1=24+1-1,127=27-1=26+1-1,8191=213-1=212+1-1,且31、127、8191都是质数,于是就有496=24×(24+1-1),8128=26×(26+1-1),33,550,336=212×(212+1-1)。将这三个式子概括、抽象成一般式,即为:C=2n・(2n+1-1)(n是≥2的偶数)。这个式子表明:如果(2n+1-1)是一个质数,那么2n・(2n+1-1)算出的数一定是一个完全数。
  观察、分析如上式子以及三个例子中的相关数据,能够得出这些结论:
  1.例1中的496是被2分4次连续整除的,例2中的8128是被2分6次连续整除的,例3中33,550,336是被2分12次连续整除的。于是说:能够被因数2分偶数次连续整除,且商为特定质数的偶数就是完全数。所谓特定质数,它包含三层意思。一是这些质数只能够表示为23+2m-1(m≥0,下同),并非任意的质数;二是它们的终端数字和必须是1或4或7;三是它们的数尾码特色,由(25+4m-1)算出的数的数尾码只有31、11、91、71、51这5类,由(23+4m-1)算出的数的数尾码也只有07、27、47、67、87这5个类型。
  2.24+4m算出的数都是6氏数族里的数,(25+4m-1)算出的数都是1氏数族的数,24+4m・(25+4m-1)算出的数一定是6氏数族的偶数。22+4m算出的数都是4氏数族的数,(23+4m-1)算出的数都是7氏数族里的数,22+4m・(23+4m-1)算出的数一定是8氏数族里的偶数。所以说,只有6氏、8氏数族里才有完全数。
  3.22+4m依次算出的数的终端数字和是4、1、7,4、1、7……反复的,(23+4m-1)依次算出的数的终端数字和是7、1、4,7、1、4……反复的,这两组反复的终端数字和分别是4与7、1与1、7与4对应的,当22+4m・(23+4m-1)时,即有4×7=28=2+8=10=1+0=1,或7×4=28=2+8=1,或1×1=1。同样地,24+4m依次算出的数的终端数字和是7、4、1,7、4、1……反复的,(25+4m-1)依次算出的数的终端数字和是按照4、7、1,4、7、1……反复的,24+4m・(25+4m-1)得出的数终端数字和也都是1。这就是说,6除外的所有完全数的终端数字和一定是1。
  4.如果(23+4m-1)是一个质数,那么,22+4m・(23+4m-1)算出的数一定是一个完全数;如果(25+4m-1)是一个质数,那么24+4m・(25+4m-1)算出的数一定是一个完全数。如8191是质数,则4,096与8,191的积33,550,336就必定是完全数。这些,既是完全数的性质特征,又是获取完全数的路径、方法。
  5.找到相应的质数,是发现完全数的关键所在。(23+4m-1)、(25+4m-1)算出来的数分别是7、1氏数族里的奇数,因而人们不必从3、9氏数族里寻觅质数,只有找到7、1氏数族里的相关质数,才能发现新的完全数。(23+4m-1)所指的数依次是7、127、2047、32767、524287……等定值、定数尾码的数,(25+4m-1)所指的数依次是31、511、8191、131071、2097151……等定值、定数尾码的数,因而找寻质数时只要直奔这样的数而去。
  笔者以1、7氏数族中奇合数的数量关系为支撑,运用终端数字和思维,借助电子计算机的优势,有序地计算出了1、7氏数族一定数域里的17个特定质数,并根据完全数的性质特征,快速地得到了如下17个完全数。
  24・(25-1) 212・(213-1) 216・(217-1)
  260・(261-1) 288・(289-1) 2520・(2521-1)
  22280・(22281-1) 23216・(23217-1) 22・(23-1)
  26・(27-1) 218・(219-1) 230・(231-1)
  2106・(2107-1) 2126・(2127-1) 2606・(2607-1)
  21278・(21279-1) 22202・(22203-1)
  可以肯定地说,人们凭借电子计算机大数据计算技术,以获取完全数的路径、方法为引领,一定能够在本文刊发后不久的时日里发现新的完全数。
  有些偶数也可以表示为2n・(2n+1-1),但其(2n+1-1)却是合数,因而这样的偶数不是完全数,如536,854,528=214・(215-1)=16384×32767,32767是合数,则536854528不是完全数。据此,探寻完全数时一定要把握住(23+4m-1)、(25+4m-1)必须是质数的关键,切不可被假象所迷惑。
  6.完全数犹如沧海一粟,这与它不仅只存在于6、8氏两个数族,而且又是按照2n・(2n+1-1)的几何级数扩展的,还要满足特定质数之条件不无关系。

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