偏微分方程课程教学改革探索

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　　摘要：偏微分方程是大学本科数学专业的一门专业基础课，主要研究一些具有实际背景的数学物理方程。针对这门课程内容繁、难、课时少的特点，从教学内容、教学方法与教学目标等方面提出了根据专业和教材的特点确立不同的教学目标、精选教学内容、改变教学手段与教学方法、注重教学与科研相结合、改变考试方式等新形势下的教学改革，提高了课堂教学的效果。
　　关键词：偏微分方程，教学内容，教学方法，教学目标
　　中图分类号： G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）10（a）-0000-00
　　The teaching reform of the Partial differential equation
　　JIA Yan
　　（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230039， P. R. China））
　　Abstract： Partial differential equation is a professional basic course with specialized mathematics of the university undergraduate course. It mainly researches some mathematical physics equations with practical background. This article put forward some ideas and understanding about According to the characteristics of the professional and teaching materials to establish different teaching goals ，Select the teaching content and the teaching method ， Combination the teaching and scientific research， change the way of examination ，from the teaching content， teaching method and teaching goal with the course content is numerous， difficult， the class hour is less . It improve the effect of classroom teaching.
　　Key Word：Partial differential equation，Teaching content，Teaching method，Teaching goal
　　偏微分方程是众多描述物理、化学和生物等现象的数学模型的基础。近年来已经扩展到经济、金融分析、图像处理等领域[2]。本科偏微分课程主要来源于数学物理和理论物理中的一些连续介质模型。通过讲授一些典型数学物理方程的导出，解的适定性和解的性质来培养学生掌握偏微分方程的理论、方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。
　　偏微分方程对学生的大学数学基础要求很高，与其它数学分支有紧密联系。因此在教学过程中容易出现以下几个问题：一、学生学习该门课程的知识储备不够，要想学好偏微分方程要求学生有比较扎实的“数学分析”、 “实变函数”、“复变函数”、“泛函分析”以及相关的大学物理知识。二、课程的理论性过强、内容多、难度大。学生感觉学习枯燥，乏味，提不起兴趣。无论是方程的导出还是解的适定性问题求解过程往往麻烦、冗长、计算量大，学生容易产生畏难情绪。教师教的也累，上课效果不是很好。三、课程内容与后续学习的内容连接不上。本科阶段的偏微分课程远远不能满足一些专业后续学习的需要，很多学生反映在继续深造的过程中发现一些知识学了的用不上，要用的没学过。针对以上几点，结合作者的实际教学，从教学内容、教学方法与教学目标等方面提出了一些认识和想法，在教学过程中取得了一定的效果。
　　1 根据专业和教材的特点，确立不同的教学目标
　　偏微分方程是我校应用数学专业的一门必修课程，从课程的地位来说，它是专业基础课，对于后续课程的学习起着很重要的作用。因此根据专业的不同选用的教材也应有所不同，针对不同的专业确立符合专业的教学目标，以确保学有所用。例如我校应用数学专业选用的教材是陈祖墀编写的《偏微分方程》（第2版）。这本教材的特点是内容论述详细、严密。主要内容分为复变函数和数学物理两大板块，比较适合纯理科的学生学习。教学目标要求学生在学习基本理论和求解方法的同时，注意理解处理问题的思想方法。而对于物理，材料等工科专业选用的教材是谷超豪等编写的《数学物理方程》，这本教材比较适合于应用物理专业的教学内容，该教材对不同的内容设立不同的教学要求，在保持数学物理方法框架的前提下， 削减了许多具体的教学内容，比如二阶拟线性偏微分方程的分类、拉普拉斯变换、变分法等.在教学目标上除了要求学生掌握数学理论部分还要求学生要理解特殊函数部分的内容，体现这些内容在力学、材料、能源及生物等领域较强的应用背景。对于信息与计算科学专业的学生应该侧重于偏微分方程数值解。在教学目标上侧重于掌握有限差分方法、有限元方法、有限体方法、多重网络等方法。因此，结合课程的实际问题，教学目标应该侧重于以下两点：首先，以教材内容为主，让学生掌握必要的理论知识和数学工具。其次，培养学生的数学建模思想、解题技巧和方法以及利用偏微分方程的相关知识解决实际问题的能力。
　　2 结合专业，精选教学内容
　　偏微分方程具有知识点多，触及领域广，理论性强，计算量大等特点，而近年来由于人才培养模式的改变，该课程在很多学校只有54个学时（我校为72学时）。在课时不充分的情况下，应根据专业和培养方案精选上课内容，以便在有限的课时内学生的学习效率最大化。教师在教学的过程中有必要对教学内容、教学计划、教学重点等根据大纲要求并结合专业进行科学调整，督促学生提前复习相关知识，提高上课质量。例如对于应用数学专业的教学，主要讲授内容应是二阶拟线性偏微分方程的相关理论。重点介绍波动方程、热传导方程、调和方程这三大方程的导出，问题的提法以及解的适定性。我们在讲课的过程中重点介绍二阶线性偏微分方程的分类、一阶拟线性偏微分方程的特征线理论、突出分离变量法、球面平均法、傅里叶变换法、格林函数法在二阶拟线性偏微分方程中的作用，详细介绍一维波动方程的行波解，分离变量法，高维波动方程的球面平均法的基本思想、应用条件等。再通过举例、归纳、总结对比后掌握这些基本方法的精髓。对于其它方法可以作简单概述或者让学有余力的同学学习。 　　3 改革教学方法与考试方式
　　3.1 突出背景知识的介绍，培养建模思想
　　偏微分方程主要来源于物理和工程技术以及一些实际问题，很多方程都有实际的物理背景，每一类方程都是根据实际的物理现象，通过物理定律建模得到的，方程的定解也有物理意义。介绍相关的背景知识可以让学生明白为什么要研究这类方程，偏微分方程能解决什么问题。例如我在讲授热传导方程的导出时，先给出了一个模型：给定空间内的一个物体G（要求该物体是由均匀的、各项同性的介质组成），u（x，t） 表示物体在点x时刻t时的温度。问题是研究该物体温度的变化规律。这一规律可以用热传导方程来描述，它是抛物型方程的典型代表，具有丰富的物理背景。因此我们在上课的过程中引导学生用热量守恒定律与傅里叶热传导定律以及微积分的相关知识对这一问题进行建模，并着重分析各种物理条件在建立数学表达式时的实际意义，让学生学会用偏微分方程建立数学模型的基本思路和基本方法。这样学生通过对这一方程的背景知识的了解，对方程中各个变量有一个直观的认识，有利于对方程的解的物理意义的了解，有利于对最大值原理这一重要内容的学习，从而加深了对这一方程的理解。
　　3.2 改变教学手段与教学方法
　　由于偏微分方程涉及的概念、公式和定理比较多，在教学中我们应采用多种教学方式相结合的方法提高学生的学习积极性。首先，重视启发式和讨论式的课堂教学。例如对于第五章位势方程的内容，我们采用的就是讨论式的课堂教学。我们尝试在课堂上先着重介绍位势方程的来由，再引入Green函数的概念，然后请学生自己完成对这个特殊函数性质的描述和刻画。我们将这些内容进行一定的划分，把每个知识点作为课堂讨论的内容。学生通过收集，整理资料，然后进行课堂讨论。在讨论的过程中学生如果有问题教师当场解决或者请同学们一起讨论，加深学生对这一知识点的了解，营造一种求知的学术氛围。充分发挥学生的主体作用。另外我们提倡学生掌握解题技巧，一题多解，例如我们在介绍热传导方程的初边值问题解的唯一性和稳定性时鼓励学生从极值原理、最大模估计、能量方法等不同角度去考虑问题。其次，利用多媒体课件和计算机软件辅助教学。由于偏微分课程的特点，目前大多数老师仍以传统的课堂教学为主，而少数教师则喜欢用多媒体课件教学。传统的板书能更好地引导学生去感受和思考数学逻辑的推导过程，有利于加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。但是多媒体课件可以让学生更直观，更全面的理解知识点。另外使用多媒体课件还可以节省大段公式的板书时间[3]。所以我们认为应该把两种教学手段结合起来，对一些定理，公式图表以多媒体展示，尤其是我们可以把一些复杂的物理现象例如波的弥散通过多媒体展示可能更加直观，对一些演算过程则要板书。 根据内容选择合适的教学手段。
　　3.3 教学与科研相结合
　　近年来偏微分方程特别是非线性偏微分方程在各个领域中出现，有各种不同的研究方法.例如输运方程在控制问题、种群演化问题、疾病传播问题、流体力学问题等方面都有广泛应用[4]。我们在讲课的过程中可以适当引进新的理论，新的方法，开拓学生的视野，激发学生的兴趣。例如在介绍一阶拟线性偏微分方程时可以介绍一下超音速流和激波的相关知识，在介绍二维波动方程初边值问题解的唯一性时，我们可以引导学生用能量法解决一般形式n维的双曲型偏微分方程解的唯一性和稳定性。这些小问题有助于学生科研能力的培养。近年来我校卓越班实行导师制，导师每星期与学生有一定的见面时间给学生提供一些参考文献，也可以让学生参与自己的教学项目和科研项目中，提高学生的科研能力，取得了一定的效果。
　　3.4 改变考试方式
　　目前我校采用的考试方式是知识与能力相结合的综合评价方法，即平时成绩和期末考试相结合的综合评价体系，其中平时成绩占30%，包括考勤和作业，期末考试成绩占70%。这样的综合评价方法虽然比较全面的反映学生的学习效果。但是还是有一部分学生平时不学习，期末的时候寄希望于老师划重点，临时抱佛脚。笔者认为要改变学生只重视课程成绩，在期末时才开始背笔记应付考试的不良习惯，应加强对学生平时学习情况的考察.学生的平时成绩可由作业、讨论课上表现、以及小论文等部分组成。尤其是对一些善于提出问题、发现问题的学生不能以期末成绩作为唯一的评价标准。采用以上多种方式结合的考核形式，更能检测学生的学习过程。
　　4 结语
　　针对偏微分方程的特点，从教学内容、教学方法与教学目标等方面提出的教学改革与探索在实际教学中取得了一定的教学效果，消除了学生学习偏微分方程的畏难心里，激发了学生学习的积极性。取得了很好的考核成绩。
　　参考文献
　　[1] 谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基. 数学物理方程（第三版） [M]. 北京：高等教育出版社，2012.
　　[2] 张渭滨.数学物理方程[M].北京：清华大学出版社，2007.8.
　　[3] 邹永魁. 偏微分方程数值解课程的思索[J]. 科技信息，2012，14 （9）： 200-201.
　　[4] 汤燕斌，吴娥子.应用偏微分方程课程教学改革探讨[J]. 大学数学，2013，（29）：1-4.
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