李代数sl(2,C)上的经典Yang―Baxter方程的解及其应用
作者 : 未知

  摘要:针对复数域C上特殊线性李代数sl(2,C)的经典Yang-Baxter方程解的问题,利用sl(2,C)的基元素,通过计算Yang-Baxter算子在其基元素上的作用的方法,得到了sl(2,C)的经典Yang-Baxter方程的一些解,进而给出了sl(2,C)上的某些左对称代数结构.
  关键词:李代数;经典Yang-Baxter方程;左对称代数
  DOI:10.15938/j.jhust.2015.05.024
  中图分类号:0151.21
  文献标志码:A
  文章编号:1007-2683(2015)05-0119-04
  0 预备知识
  Rota-Baxter代数始于上世纪60年代,源于G.Baxter在概率论中对波动理论的积分方程的代数研究,其在代数学和组合学中的重要作用引起了G.C.Rota,F.V.Atkinson和P.Cartier等数学家的兴趣并对其做了深入的研究。近年来,大多数Rota-Baxter算子的研究都在结合代数上,文中给lJ{{了维数≤3的结合代数上0权Rota-Baxter算子,而在中给出了维数≤3的结合代数上1权的Rota-Baxter算子,文给出了二阶矩阵构成的四维结合代数上0权的Rota-Baxter算子,文证明了有限维实可除代数上的Rota-Baxter算子都是平凡的,文给出了两个变元外代数上的Rota-Bax- ter算子.后来,又将Rota-Baxter算子扩展到了李代数和李超代数上,文研究了复数域上导代数维数等于1的2维和3维李代数的Rota-Baxter算子,文刻画了特征零的代数闭域上四维Filiform李超代数L1,2上的Yang- Baxter方程的解,文给出了三维幂零李超代数的Yang-Baxter算子,文计算了特征不为2的域上的一般线性李超代数gl(IIl)的齐次Rota-Baxter算子.而本文研究了李代数s/(2,C)上的经典Yang-Baxter方程的解及解的应用.文最早提出了Yang-Baxter方程并阐述了它在物理中的应用,由于它丰富的理论基础和应用价值,Yang-Bax-ter方程的研究是比较活跃的课题也是必要的,
  定义1设G是一个李代数,如果G上的线性算子R满足:
  其中A∈C.则称线性算子R是G上的一个Rota-Baxter算子(特别地,在李代数中权0的Rota-Baxter算子R称为G上的一个Yang-Baxter算子),G是一个权为A的Rota-Baxter代数,权为0时,上述方程变为 称为G的经典Yang-Baxter方程,权为0的Yang-Baxter算子称为G的经典Yang-Baxter方程的解.
  作为Yang-Baxter算子的应用,我们可以利用Yang-Baxter算子来构造左对称代数,
  引理l 设G是一个李代数,R是G上经典Yang-Baxter方程的解,那么在G上定义一个新的运算:
  则(G,*.)构成一个左对称代数.
  2 李代数sl (2,C)上的经典Yang-Baxter方程的解
  sl(2,C)是复数域上所有迹为零的2x2阶方阵构成的结合代数,定义李积:[A,B] =AB-BA,VA,B∈sl(2,C),则(sl(2,C),[,])构成李代数,称为特殊线性李代数.李代数sl(2,C)的基为x:满足(1)式的R即为李代数sl(2,C)上的经典Yang-Baxter方程的解.
  3 结 语
  本文讨论了复数域C上三维特殊线性李代数sl(2,C)的权为零的Rota-Baxter算子问题,即sl(2,C)上的经典Yang-Baxter方程的解的问题,将Rota- Baxter算子作用在s/(2,C)的基底元素上,把算子问题转化为方程组问题,分情况讨论,得到了sl(2,C)的权为零的一些Rota-Baxter算子,进而确定了sl(2,£)上的一些左对称代数结构.

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