李代数sl（2，C）上的经典Yang―Baxter方程的解及其应用

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　　摘要：针对复数域C上特殊线性李代数sl（2，C）的经典Yang-Baxter方程解的问题，利用sl（2，C）的基元素，通过计算Yang-Baxter算子在其基元素上的作用的方法，得到了sl（2，C）的经典Yang-Baxter方程的一些解，进而给出了sl（2，C）上的某些左对称代数结构.
　　关键词：李代数；经典Yang-Baxter方程；左对称代数
　　DOI：10.15938/j.jhust.2015.05.024
　　中图分类号：0151.21
　　文献标志码：A
　　文章编号：1007-2683（2015）05-0119-04
　　0 预备知识
　　Rota-Baxter代数始于上世纪60年代，源于G.Baxter在概率论中对波动理论的积分方程的代数研究，其在代数学和组合学中的重要作用引起了G.C.Rota，F.V.Atkinson和P.Cartier等数学家的兴趣并对其做了深入的研究。近年来，大多数Rota-Baxter算子的研究都在结合代数上，文中给lJ{{了维数≤3的结合代数上0权Rota-Baxter算子，而在中给出了维数≤3的结合代数上1权的Rota-Baxter算子，文给出了二阶矩阵构成的四维结合代数上0权的Rota-Baxter算子，文证明了有限维实可除代数上的Rota-Baxter算子都是平凡的，文给出了两个变元外代数上的Rota-Bax- ter算子.后来，又将Rota-Baxter算子扩展到了李代数和李超代数上，文研究了复数域上导代数维数等于1的2维和3维李代数的Rota-Baxter算子，文刻画了特征零的代数闭域上四维Filiform李超代数L1，2上的Yang- Baxter方程的解，文给出了三维幂零李超代数的Yang-Baxter算子，文计算了特征不为2的域上的一般线性李超代数gl（IIl）的齐次Rota-Baxter算子.而本文研究了李代数s/（2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解及解的应用.文最早提出了Yang-Baxter方程并阐述了它在物理中的应用，由于它丰富的理论基础和应用价值，Yang-Bax-ter方程的研究是比较活跃的课题也是必要的，
　　定义1设G是一个李代数，如果G上的线性算子R满足：
　　其中A∈C.则称线性算子R是G上的一个Rota-Baxter算子（特别地，在李代数中权0的Rota-Baxter算子R称为G上的一个Yang-Baxter算子），G是一个权为A的Rota-Baxter代数，权为0时，上述方程变为 称为G的经典Yang-Baxter方程，权为0的Yang-Baxter算子称为G的经典Yang-Baxter方程的解.
　　作为Yang-Baxter算子的应用，我们可以利用Yang-Baxter算子来构造左对称代数，
　　引理l 设G是一个李代数，R是G上经典Yang-Baxter方程的解，那么在G上定义一个新的运算：
　　则（G，*.）构成一个左对称代数.
　　2 李代数sl （2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解
　　sl（2，C）是复数域上所有迹为零的2x2阶方阵构成的结合代数，定义李积：[A，B] =AB-BA，VA，B∈sl（2，C），则（sl（2，C），[，]）构成李代数，称为特殊线性李代数.李代数sl（2，C）的基为x：满足（1）式的R即为李代数sl（2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解.
　　3 结 语
　　本文讨论了复数域C上三维特殊线性李代数sl（2，C）的权为零的Rota-Baxter算子问题，即sl（2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解的问题，将Rota- Baxter算子作用在s/（2，C）的基底元素上，把算子问题转化为方程组问题，分情况讨论，得到了sl（2，C）的权为零的一些Rota-Baxter算子，进而确定了sl（2，￡）上的一些左对称代数结构.
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