分离变量法在物理学中的应用
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【摘 要】本文介绍了分离变量法的原理及应用方法，并对其在物理学中的应用做了分析，给出了常见数学物理方程的求解办法，并举出相应实例加以说明
【关键词】分离变量法；数学物理方程；拉普拉斯方程；偏微分方程
【Abstract】This paper introduces the principle and the method of application of the method of separation of variables， and analyzes its application in physics， this paper presents the way of solving common equations of mathematical physics， and give the corresponding examples illustrate.
【Key words】Separation variable method； Mathematical physics equation； Laplasse equation； Partial differential equation
在物理学以及工程技术中，描述所研究对象的数学物理方程大部分是偏微分方程。由于客观世界的复杂性，导致描述其关系的数学方程的复杂性，求解相当复杂。如何简化求解方法， 成为求解数理方程的一个重要方面。分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍的重要方法。其可将偏微分方程分离为常微分方程， 使得一些偏微分方程变得可解。本文分析了分离变量法在物理学不同领域中的应用，并给出具体实例加以说明。
1 分离变量法简介
分离变量法，即对于偏微分方程， 可表为变量分离状态的形式。假设定解问题其有变量分离形式的解，把这种解代入偏徽分方程， 可以得到含有未定常数的常微分方程，这些未定常数取某些特殊值时， 可以找到方程满足齐次条件的非零解。对于分离变量法，可以在直角坐标系、球坐标系，柱面坐标系等中进行，随着坐标系的不同， 定解问题会出现一些特定的常微分方程，具有不同的解， 其本征函数可以是多种函数， 如贝赛尔函数等。由于分离变量法的理论基础之一是线性叠加原理，故其只能解决线性定解问题，在处理非齐次泛定方程间题时， 可视为几种类型叠加的结果， 从而将其“分解” 。虽然在解数理方程中分离变量法有很广泛的应用，但也有很大的局限性，首先受线性叠加原理限制，只能解决齐次泛定方程齐次边界条件的线性问题（一般非齐次泛定也可以运用，只是要借助其他方法），其次，分离变量法对边界条件要求太苛刻，另外，分离变量法的解一般是无穷级数，是在误差范围内的近似解。
2 分离变量在物理学中的应用情况
2.1 利用分离变量法求解静电场中的拉普拉斯方程
静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解，分离变量法作为解析法，是求解拉普拉斯方程的最基本方法，通常可以在直角坐标系，极坐标、圆柱坐标系和球坐标系进行变量分离，根据边界形状选取合适的参考系。
我们仅以直角坐标系下的分离变量做一说明。
采用合适的方法都可以得到求解。
2.2 其他情况下的分离变量法的应用
除了上面所说的几个例子以外，还有下边几个问题可以用分离变量法求解偏微分法方程：
（1）热传导方程；分离变量法在解数学物理方程的时候有很广泛的应用，除了弦振动方程以外，还有热传导方程，如有限长杆的热传导问题。某些情况下，热传导方程可以转化为拉普拉斯方程边值问题的求解，问题又回归到静电场问题拉普拉斯方程的求解上。
（2）放射性元素的衰变问题；由放射性原子衰变速度与原子质量比例关系，得到微分方程如下：=-λM（t）；M（t）为t时刻该原子含量，λ为衰变系数。且M|t=0=M0，很容易通过分离变量-λdt，得M=M0e-λt
（3）冷却定律；冷却定律，即物体的温度随着时间的变化率跟环境的温差成正比。记T 为物体的温度，Tm为周围环境的温度， 则物体温度随着时间的变化率为dT/dt ，牛顿的冷却定律可表示为：=-k（T-Tm），其中k为正比例系数。同样，对等式两边进行分离变量，然后积分，可以求出在任何时刻下的变化率。
3 小结
分离变量法作为数学物理方程中的一种重要的应用方法，在解决常见偏微分方程中有很重要的应用。在物理学领域内，有很多问题可以归结为偏微分方程，因此，分离变量法在物理中的应用也很广泛。本文给出了几个特例，并希望能够通过对分离变量法的学习，进一步建立数学与物理的有机联系，以达到使数学方法更好的为物理问题服务的作用。
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[责任编辑：杨玉洁]
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