二次曲线数控加工的数学分析
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摘 要：手工数控编程加工有许多场合需要对二次曲线进行宏程序编程，通过二次曲线的标准方程然后设定相应的加工参数，对曲线进行直线段或者圆弧逼近拟合，参数的大小直接决定了最终拟合曲线的形状与精度，不合理的变量参数会导致加工时间过长，没有加工效率，造成成本得不到控制或者零件达不到所需要的精度要求，不能满足使用需要。为了保证成本满足加工效率，这就需要對加工参数进行数学分析，得到正确合理的步进变量参数。
关键词：自动编程 手工编程 宏程序
中图分类号：TG659 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）12（a）-0197-02
1 二次曲线的定义
由二元二次方程α112+2α12y+α22y2+2α13+2α23y+α33=0所表示的曲线即为二次曲线，其中α11、α22、α33不全为零。数控加工中含有二次曲线的零件有很多，这类曲线的加工也是机械加工中的难点。
2 二次曲线加工方法
在机械加工中，如果零件的外形含有椭圆、抛物线等二次曲线，就需要根据这些轮廓曲线的特点选择合理的加工设备与加工方式。二次曲线的主要加工方法有以下3种：（1）靠模法。刀具按照靠模形状进行走刀，使用这种方法可以在普通机床设备上加工比较复杂的零件，但是靠模法加工的不足之处是加工的柔性较差，当外形稍有改动的时候就要重新制造靠模，造成制造周期过长，不能满足产品的及时更新换代。（2）CAD/CAM法。利用计算机辅助设计与制造软件将所加工的零件建模，选择合理的加工方案，设置合理的加工参数。通过软件的模拟仿真运动与加工，检查刀具是否会产生碰撞、加工的参数是否合理。最终经过软件生成需要的加工程序。（3）宏程序法。使用宏程序编程时，可以用系统的变量赋值功能来进行编程，变量赋值的好处就是当加工的零件只有外形尺寸稍加改动，加工的轮廓曲线类型不变时，只需改动相应的变量值就能实现程序的改动，加工的柔性好，系统的运行速度和加工精度都得到很大的提高。用户宏程序的优点有如下几条：①程序简单，操作方便。常用的计算机辅助软件编辑出的程序都是用直线或者圆弧去拟合加工，生成的程序占用系统内存过大，修改的过程步骤也比较多。宏程序具有的变量赋值功能，程序修改时只需改变相关的加工参数，就能够完成程序的修改，便于加工程序的调试。②加工精度高。宏程序可以调用系统内部的各种算数函数进行编程，由于函数的运算误差在10-6与10-10之间，所插补的理论尺寸精度远远地满足了加工的需要，因此加工时可以不考虑插补误差，只考虑机床自身精度。③安全性高。根据实际加工的需要，可以将需要的系统变量值传递到系统内部，在遇到电源突然断掉的情况时加工数据也不会丢失。
3 拟合方法分析
由于数控机床只具有直线和圆弧的插补功能，在加工非圆曲线时就需要使用拟合的方法间接得到所需要的加工轮廓。常用的曲线拟合方法有以下几种。
（1）等间距直线逼近法。等间距法是将曲线在X轴或者Y轴方向等分，根据计算出的点坐标再用直线将所有点连接就可以得到近似的曲线，这种方法比较简单，可以通过改变等分距离的大小控制曲线的加工精度。
（2）等间距直线逼近法。曲线上各段加工步距长度都相等的拟合方法。步长的选择首先要根据已知的曲线并计算出曲线的最小曲率半径，根据允许的最小误差值和最小曲率半径确定加工的步距。
（3）等误差直线逼近法。等误差直线逼近法是拟合曲线的各点的误差均相等并且加工的步距参数在各点都产生变化。这种方法表达拟合加工曲线的数学模型比较麻烦，很难编写，但是它的优点是拟合的数据量小，机床运行速度快，加工精度也有保障。
（4）圆弧逼近轮廓法。是用圆弧曲线拟合所需加工曲线的方法。它的优点是曲线的拟合精度高、过渡平滑，能减少系统的数据处理量，程序量也相应地减少。不足之处就是数学模型的表达很困难，很难手工编写。
4 步长及步距角计算
（1）步长的计算在进行曲线拟合时，必须在按照图纸要求的误差范围内利用微小的直线段或者圆弧进行曲线的插补加工，在工件轮廓曲线比较复杂并且加工精度要求高的情况下，就使得逼近的直线段或圆弧分得很短小，导致加工数据量很大，这使得手工计算很困难;且该方法存在近似误差，加工精度的控制有赖于对加工步距进行精确合理的运算。
使用一次分段函数L（）对二次函数F（）进行曲线的拟合。误差函数为e（），在XOY平面内，把区间内的值平均分成n分，将函数y=F（）进行线性插补，e（）=F（）-L（）因每一直线段的首末点e（）=0，此时e（）的函数表达式：
（1）
式中，K为待定系数。令如果△（e）有3个交点：、、，则e（）在区间内，肯定存在一个拐点ζ，并且拐点处的2阶导数为零，此时：，根据e（）=F（）-L（）得到：
（2）
所以
（3）
式中的M为F''（ζ）的最大值。
在下面的公式中给出了如何根据加工精度来计算步距参数的方法。根据公式可以得到最大加工误差ε与函数所在区间的值的等分数2n成反比，在已知加工误差的条件时，需要的最少直线段的段数为，在保证加工精度要求的前提下，合理的方向的加工步距△为：。
（2）椭圆曲线拟合方法研究。编程加工时，曲线拟合的方法与拟合参数的选择不仅关系到曲线的加工精度，还影响着数控设备加工的效率。此处使用椭圆轮廓的加工为例，使用不同的加工参数为变量，使用数控机床宏程序的函数表达与逻辑判断功能，证明了为了保证二次曲线的加工精度，需要选择合理的加工方法与加工参数。
在XOY平面内，用△为变量来表达函数曲线进行编程时。从图纸上就可以看到，使用相同的加工步距△在椭圆的曲率最大值附近的点很少，并且对应的Y轴的坐标值变化很大，在椭圆的曲率最小值附近的点最多，所对应的Y轴的坐标值的变化比较平缓。 如图1（b）所示，当使用中心角△α为变量对函数曲线进行编程表达时，相对于图图1（a）曲线拟合比较平缓。
通过对比分析，为了保证拟合精度的保证，便于程序的编写，用△α为变量，使用宏程序来进行编程。
（3）最大步距角的计算。
①最大拟合误差δmax。
由于椭圆上各点的曲率半径都不相同，导致了拟合曲线每一处的拟合误差也一样。在椭圆的曲率最大处曲线的拟合误差最大，所以编程时只要所选择的加工参数能够满足曲率最大处的精度要求，则这个加工参数就能保证整个曲线的加工精度。为了保证图纸加工精度的要求，计算的加工步距的拟合误差通常只有加工图纸要求公差的 0.05～0.15 之间。椭圆的参数方程为：
（4）
曲率半径的参数方程形式为：
（5）
令=0，得出当α=0时，。
②步距角α。
拟合参数α计算公式如下：δ为拟合误差ρ曲率半径;α步距角。
将用幂级数展开，得：
代入上式得：
零件加工过程中都会产生加工误差，为了保证拟合的精度选择拟合误差为加工图纸公差要求的0.05～0.15 倍。可得：，将拟合误差带入公式，得到的最大拟合角度参数：
（6）
③等步距角拟合。
根据计算所得的△αmax变量，利用椭圆的参数拟合椭圆的轮廓曲线，求得不同角度所对应的坐标值A、B、C…。将参数方程所计算得到的数据点一次相连，就可以得到用直线段逼近得到的拟合曲线，并且得到的曲线能够满足加工的需要。
（7）
举例：假设椭圆加工的轮廓度公差要求为0.10mm，长半轴尺寸20mm，半轴尺寸5mm，取拟合误差是轮廓度误差的0.1倍，则δ=0.02mm，可得：
△αmax （8）
5 结语
复杂形状的手工编程加工前應根据加工函数曲线的不同，进行合理的数学分析，选择合适的编程变量数据，以保证所加工的形状尽量接近理论轮廓外形，满足现实的需要。
参考文献
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