基于模型参考自适应的一类二维系统形状渐近跟踪控制
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摘要：针对二维线性系统，探究可实现其状态轨迹形状与参考系统状态轨迹间形状渐近跟踪的控制方法.首先，利用刚体运动描述系统状态轨迹的形状渐近跟踪概念，然后对传统模型匹配条件进行扩展。在该条件下，采用Lyapunov稳定性与模型参考自适应相结合的方法，设计形状渐近跟踪控制器。实验表明，该控制器可保证被控系统与参考系统状态轨迹达到形状渐近跟踪。与传统方法相比，所给出的模型匹配条件及形状渐近跟踪控制器适用范围更广。最后，对模型进行仿真实验，证明了该控制方法的有效性。
关键词：自适应控制;线性系统;形状渐近跟踪控制器
DOI：10.11907/rjdk.192355 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2020）006-0070-04
0 引言
形状是一个描述曲线弯曲轮廓的几何概念，近年来，形状的概念广泛应用于自然科學及工程实践中，取得了许多有价值的研究成果。文献对形状描述及形状匹配在计算机视觉领域的应用进行了讨论;文献在仿真人脸皱纹模型中，将形状函数应用于人脸皱纹模型;文献针对一类仿射非线性系统，探究了非线性动态权值约束的最优概率密度函数控制问题，基于对概率密度函数形状的控制，提出了一种最优概率密度函数控制方法。由此可以看出，利用形状概念研究工程问题具有重要的理论和实践意义。
在控制理论研究中，形状通常作为描述控制目标的重要概念而加以利用。文献提出系统被控曲线轨迹形状与参考轨迹曲线形状合同的控制问题，结合相对曲率概念与曲线论基本定理，提出了一类双输入非线性系统二维平面形状合同控制方法;文献基于微分几何平面曲线与空间曲线理论，提出了混沌系统形状同步的概念，利用曲率构造相应的控制器，使驱动系统状态轨迹与响应系统状态轨迹的形状完全相同;文献针对一类具有不确定运动学和动力学特性的多机器人系统形状控制问题，提出了一种有效的自适应控制方法。然而，文献和主要考虑多机器人群队列形状控制，并未考虑系统状态轨迹形状控制;文献提出的形状同步控制均在假设曲线是正则的前提下，通过利用曲率构造控制器实现形状同步，该方法并不适合于具有非正则状态轨迹曲线的情形。从控制理论的角度看，上述文献对形状同步、形状合同等控制问题的研究均可聚焦于形状跟踪问题。事实上，形状不仅可通过弧长和曲率描述，还可通过刚体运动（旋转、平移）加以描述。因此，基于刚体运动考虑其它类型的形状渐近跟踪控制器的设计方法也具有理论和实践意义，但目前对该问题的研究甚少。
基于此，针对一类二维线性系统，本文利用刚体运动提出形状渐近跟踪的概念，结合模型参考自适应控制方法及LYapunov稳定性理论，为被控系统设计形状渐近跟踪控制器，以实现被控系统状态轨迹形状与参考系统状态轨迹形状的渐近跟踪。本文提出的形状渐近跟踪控制器设计是基于一组模型匹配条件，这组模型匹配条件可视为传统模型跟随问题中模型匹配条件的扩展。本文提出的形状渐近跟踪可视为通常系统状态渐近跟踪问题的一般化。
本文首先描述被控系统与参考系统定义、形状渐近跟踪定义并提出假设;然后，结合Lyapunov稳定性理论进行形状渐近跟踪控制器设计和系统稳定性分析，进而得到形状渐近跟踪控制器及两个参数自适应律;最后，通过仿真例子验证形状渐近跟踪控制器有效性。
1 系统描述
在该条件下，通过求解方程（8）可得到K*和F*。
（2）若已知矩阵K*和F*，则式（8）可视为关于vec（MT）的线性方程，因而其有解的充要条件为：
在该条件下，通过求解方程（8）可得到满足MMT=I的矩阵M。
通过式（6）事先给定的m维向量H和求解得到的矩阵M，使式（6）满足有解的充要条件rank（AMT）=rank（AMT，BH），进而通过式（6）可求得二维向量N;当矩阵A可逆时，N=MA-1BH。
式（4）-式（6）为通常模型参考自适应控制设计中模型匹配条件（Erzberger Condition）的一般化，当M和N分别为单位矩阵和零向量时，即为常见模型匹配条件。
2 控制设计
本文控制目标是为二维线性系统设计形状渐近跟踪控制器，实现其与参考系统的形状渐近跟踪。为实现该控制目标，提出如式（11）所示的形状渐近跟踪控制器。
定理1：考虑二维线性系统与参考系统。若假设1成立，且参考系统所有信号均有界，则在形状渐近跟踪控制器（11）和自适应律（12）、（13）的作用下，二维线性系统与参考系统形状渐近跟踪。
证明：考虑正定函数，如式（16）所示。
针对正定函数（16）关于时间求导，可得：
3 数值仿真
为验证本文方法有效性，利用Matlab软件进行仿真实验。矩阵A、Am、B、Bm与满足假设1的正交矩阵M、控制器参数向量H由Matlab程序随机产生。选取参考系统输入um=[sint COSt]T，然后根据前文所述的第一种求解方法，按如下步骤求解K*和F*。
（1）根据方法一中有解的充要条件判断是否有解，若无解则再次产生随机矩阵，直到满足有解条件为止，进而得到相应矩阵。
（2）求解式（8）中的矩阵方程，进而得到相应的K*和F*。
仿真结果如图1-图5所示。
从图l和图2可看出，虽然被控系统状态轨迹与参考系统状态轨迹位置不同，但其形状是渐近相同的，这意味着被控系统状态轨迹可通过一个合适的刚体运动后与参考系统状态轨迹渐近重合，即达到了形状渐近跟踪。图3-图5分别说明了控制输入及自适应律均有界。上述仿真结果表明，本文提出的形状渐近跟踪控制器可有效实现被控系统与参考系统的状态轨迹形状渐近跟踪。
4 结语
研究结果表明，在一组合适的模型匹配条件下，形状渐近跟踪控制器可有效实现系统状态轨迹形状与参考系统状态轨迹的形状渐近跟踪。虽然这些结论是基于二维线性系统得出的，但从本文理论分析可以看出，该方法也可扩展为一般维数的线性系统，而且相应模型匹配条件和矩阵求解方法也可进行扩展。现有文献的控制设计方法并不适用于线性系统形状渐进跟踪控制问题，因此寻找合适的控制设计方法将是下一个研究内容。
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