数学建模在生活中的应用

来源:用户上传      作者:郑宇新

　　摘  要：数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言、方法。通过一些手段来解决生活当中出现的一些问题，进而可以提高我们分析问题和解决问题的能力，数学是来源于生活的，也是服务于生活的，与我们的生活和工作有着密不可分的关系。因此，在生活当中，我们应该形成数学建模的意识，把数学的知识转化为实用的技能，从而完成对生活中问题的解决。
　　关键词：数学建模  实际生活  应用  策略
　　中图分类号：G64                              文献标识码：A                    文章編号：1672-3791（2020）11（c）-0166-03
　　The Application of Mathematical Modeling in Life
　　ZHENG Yuxin
　　（Jilin Normal University， Changchun， Jilin Province， 130000 China）
　　Abstract： Mathematical modeling is a mathematical way of thinking， is the use of mathematical language， methods， through some means to solve some of the problems in life. In turn， it can improve our ability to analyze and solve problems. Mathematics comes from life， it also serves life， closely related to our life and work. Therefore， we should form a sense of mathematical modeling in life， and transform mathematical knowledge into practical skills， so as to solve problems in life.
　　Key Words： Mathematical modeling; Real life; Use; Strategy
　　1  基本概念
　　数学建模主要就是根据实际问题进而来建立数学模型，并且对数学模型进行求解和计算，然后根据所求的运算结果去解决生活当中的实际问题。数学模型的实质就是一种动态的模拟，不是固定的思维方式，是运用数学的符号，数学的公式、语言、图形等对问题的本质属性进行抽象并且加以概括和刻画，从而可以解释生活当中一些客观的现象以及发展的规律。数学建模需要人们灵活运用数学的相关知识，以及对生活中的现实问题进行细致的观察和分析，从问题当中进行抽象，提炼出数学模型就叫作数学建模。
　　2  建立数学模型过程
　　先要进行模型的准备，第一步要了解问题的实际背景以及背后的实际含义，并且收集各种有关问题的信息，用数学的思想方法来分析和理解问题，用数学的语言来描述问题。第二步就是对模型进行假设，在模型准备过后需要对问题进行简化，考虑各种可能发生的情况以及突发事件，用精准的语言来表达这些问题。第三步就是模型的建立。在假设的基础上，利用数学工具来刻画常量与变量之间的数学关系，进而来建立数学模型。第四步就是模型的求解，对所建立的数学模型通过一系列的手段来进行计算出结。第五步就是对模型进行分析，我们已经得到了计算的结果，就要对所建立数学模型的思路进行阐述并加以说明，对结果进行分析。第六步就是模型检验，将模型分析所得的结果与实际情况相比较，来检验所建立的数学模型是否具有准确性、合理性、适用性。如果所建立的模型与实际问题的情况比较吻合，那么就需要对计算的结果给出其含义，并进行解释;如果所建立的模型与实际问题吻合程度差的很多，那就需要进行修改，再重新建立模型，再经过计算和检验。
　　3  数学模型在生活中的应用
　　数学建模在生活中的应用，就是将数学建模的思想方法从书本当中的固定知识和科研的领域当中逐渐转向商业化的领域，解决生活当中出现的实际问题。数学建模的应用遍及生活中的各个角落，比如投资组合、最优解问题、指派问题、车辆调度、人口预报、分期付款等。所以，数学建模在人们的生产生活当中具有重大的意义，下面列举一些生活当中应用建模的实例。
　　在生活中，我们会面临银行还贷款的问题，知道银行还贷款的年利率为5.58%，如果我们今年急需用钱，需要向银行贷款15万元，并且20年还清。在这20年中，每个月需要还贷款的金额是不变的，问每个月应该还给银行多少钱？如果现在已经还了14个月，在此时银行降低年利率为5.31%，此后还的贷款按照新的年利率算，问以后每个月需要还多少钱？对于这道实际问题，我们设x为每个月需要还的贷款金额，r为月利率，为第i个月欠银行的钱数，n为需要还款的月数，所以，我们就有如下公式：
　　在这里a0为最初的还给银行贷款的，an为最后一个需要还欠银行的钱数。对于第二个问题来说，假设还给银行的贷款k个月以后，年利率降低了，此时第k个月之后用过该还给银行的总钱数就为，我们将此总钱数作为原始的贷款的总钱数。则需要还给银行的贷款时间为n-k个月。
　　每个学生都要经历考试，所以教师要制订合理的出题方案就显得尤为重要。编写一张试卷需要考虑诸多因素，根据基础性、重要性、启发性、难易程度、应用性这几类所占的比例来编写一张试卷，如果现在有一本书，在这本书当中有N个章，每一章又有不同的节，每一个节又有不同的考点，所以如何根据这本书编写一张试卷？我们可以用数学建模当中的层次分析法来解决问题，首先可以从章出发，建立层次结构图，将基础性这类因素设为准则层，将每一章设为方案层;其次根据随机一致性指标制造出基础性这类因素对章的影响程度设为矩阵A，根据公式来进行编程最后会得到CR=0，也就是一致性比率为0，得到一致性检验合格。 　　我们每个人都愿意去商场里购物，在购物满意度问题中，人们常常会碰到如何利用一定量的钱来购买两种商品的问题，由于我们所带的钱数是一定的，但是我们更偏爱其中一种商品的时候，那么去买当中一种商品就会比较多，所以我们必然就要少买另一种商品，但是这种情况人们的满意度就不会很高，那么如何花费一定量的钱，才能使顾客达到最满意的效果呢？在这一问题中，就要用效用函数来解决，也就是在数学模型当中出现最优解的问题，当人们同时购买两种产品，要使满意度达到最大，也就是所列的函数值最大，进而才能使购物分配方案达到最佳。
　　生活当中经常遇到的问题就是凳子能在不平的平面上平稳吗？对于这类题首先要用数学的符号语言把凳子的位置和4只脚着地的关系表示出来，我们设凳子的4个角分别设为A、B、C、D，利用正方形（椅脚连线）的对称性用x表示凳子的位置，其中A、C，两脚与地面的距离之和设为f（x），B、D两脚与地面的距离之和设为g（x），我们知道地面是连续曲面，所以两个函数f（x），g（x）是连续的，其次椅子在任意位置至少三只脚着地，所以对任意的x，f（x），g（x）至少一个为0，所以f（x），g（x）是连续函数，对于任意的x，f（x）·g（x）=0;g（0）=0，f（0）>0。根据这两个函数，进而来求解。
　　我们每个人都有过赶高铁列车的经历，现在有12名乘客想要去40 km处的一个高铁列车站去乘坐高铁，但是现在距离高铁列车开车的时间就只有3 h了，如果要是步行前去的话，他们的速度是4 km/h，所以靠步行是没有时间了，唯一剩下的交通工具就是一辆出租车，但是这辆出租车包括司机在内最多只能坐下5个人，出租车行驶的速度是60 km/h，那这12名乘客能赶上火车吗？对于这类问题，面对不同的搭乘方法会有不同的答案。通常情况会有两种：第一种就是不能赶上，第二种就是能赶上，针对第一种情况，用出租车接送乘客需要3次，加上出租车需要往返那么一共就是3+2=5次，出租车行驶的总路程为5×40=200（km），时间为200/60=10/3（h）所以全靠出租车是无法全部赶上的。针对第二种情况，出租车接送第一波乘客的时候，让其他的乘客先步行，这样可以节省一些时间，设第一趟出租车共用了x小时，这时出租车和其他的乘客的总路程为一个来回，所以4x+60x=40×2解得x=1。25（h）剩下的人与高铁站的距离为40-1。25×4=35（km）依次类比，第二趟大约需要1.09 h，剩下的乘客与高铁站的距离大约为30.63 km，第三趟大约需要0.51 h，因此一共用的时间为1.25+1.09+0.51=2.85（h），所以这些乘客是能赶上列车的。
　　4  应用总结
　　通过以上几个例子，可以初步的了解模型的构建，利用数学建模去解决生活当中各种问题时，建立模型是十分关键的一步，建立模型的过程简单来说就是将各种复杂的实际问题进行简化、抽象，概括为合理的解释，对于一些较为复杂的问题，更是需要通过调查，收集资料来抓住一些问题的关键，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。我们要知道数学建模是一种思维方式，不是一个固定的解题方法，所以在面对问题的时候，我们要灵活地处理问题，在建立模型前要做好准备，要知道解决的是什么问题，并且也要把假设的情况想清楚，把不必要的因素或者突发事件考虑周到，为接下来建模做好准备。数学建模的建立却需要人们对现实问题进行深入和细致的研究，并且仔细观察和分析，认真思考问题的关键，并且巧妙灵活地运用所学过的数学知识去解决问题。不管是在用数学的思想方法在生产领域解决哪一类问题，还是与其他学科相结合来解决问题，首要的和关键就在于建立模型，并且运用所学的知识加以计算和求解，在其中计算机技术在生活中的应用可谓是锦上添花。
　　在生活当中运用数学建模来解决实际问题，可以提高学生的思维水平和解决问题的能力，改变学生学习数学的态度，使学生产生学习数学的兴趣，进而更能将书本上的知识转化为实用的技能，因此数学建模在生活当中的应用无时无刻出现在我们身边，其在生活当中具有重要作用。
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