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正则性方法的内涵与理解

来源:用户上传      作者:曹志杰

  摘要 与微分方程解的适定性或不适定性比较,解的正则性的具体涵义不是很确定。除了微分方程的解,数学学科中很多对象都有正则性研究,并且,不同的数学对象有不同的正则性,不同的方法有不同的正则性的研究方法。该文从3个方面:黎曼积分的定义、一般函数的磨光及微分方程的广义解的意义,详细论述这些解的正则性及为什么要研究它们的正则性。最后给出了作者对正则性涵义的一般理解。
  关键词: 正则性 黎曼积分 卷积 广义导数
  中图分类号:O152.7
  The Connotation and Understanding of RegularityMethod
  CAO Zhijie
  (College of Science,China Three Gorges University,Yichang,Hubei Province,443002 China)
  Abstract: Compared with the well-posedness or ill-posedness of the solutions of differential equations, the specific meaning of the regularity of the solutions is not very certain.Not only the solution of differential equations, but also many objects in mathematics have so-called regularity research, and different mathematical objects have different regularity, and different methods have different regularity research methods. From three aspects: the definition of Riemann integral, the mollificationof general functions and the meaning of generalized solutions of differential equations, this paper discusses in detail the regularity of these solutions and why we should study their regularity.
  Finally, the author's general understanding of the meaning of regularity is given.
  Key Words: Regularity; Riemann integral;Convolution;Generalized derivative
  微分方程解的正t性在数学研究中非常重要,此外还有其他对象的正则性。我们发现,不同的数学对象,有不同的正则化过程和正则性要求。这给数学研究者,尤其是初级研究者带来很大的理解障碍。基于这种状况,考察一般正则性与正则化的基本内涵,给一些不同的正则性和正则化的理解提供一种“范式”是必要的。该文正是基于这种考虑,试图为较为容易地理解和把握种类繁多的正则性和正则化现象介绍一种思路。
  1 正则性概述
  研究解的正则性是微分方程求解分析中非常重要的一个方面。文献[1]的第四章第六节详细说明了数学家对微分方程求解的正则性分析过程:从古典导数到广义导数,且引出广义函数从而将方程的求解范围逐步扩大以得到解的表达式,接着分析傅里叶变换的逆对应的空间变化等内容,为将由广义导数表达的解回到古典导数上打下基础。其实整个过程,就是先用某种方式将解表达出来,然后分析这样做时出现的问题并加入条件将问题解决。微分方程解的正则性讨论在硕、博士毕业论文中也屡见不鲜,比如文献[2]详细讨论了Landau-Lifshitz方程与Maxwell方程在自旋累积效应下耦合系统解的部分正则性等性质及三维带自旋扩散的Landau-Lifshitz-Maxwell系统的部分正则性;文献[3]利用解析半群理论、分数幂理论、不动点定理研究了两类具有非局部条件的中立型发展方程解的存在性与正则性问题。文献[4]证明在一定条件下不可压三维Navier-Stokes方程的弱解是正则的;文献[5-7]分别研究了三维广义的MHD系统和Hall-MHD系统的正则性规则,Navier-Stokes方程的局部正则性条件,和三维MHD-型模型全局吸引子的正则性。
  数学文献中遇到的正则,涵义往往有很大差异,如函数正则化方法、某测度是正则的、偏微分方程解的正则性估计等表达,还有,如正则性公理(也叫基础公理,是Zermelo-Fraenhel集合论中的公理之一)、正则表达式(这是一种可以用于模式匹配和替换的工具,可以让用户通过使用一系列的特殊字符构建匹配模式,然后把匹配模式与待比较字符串或文件进行比较,根据比较对象中是否包含匹配模式,执行相应的程序)等。语义上,以上出现的“正则”各对应正则(regular),或正则性(regularity),或正则化(regularize)中的某一种或几种。在不同的数学学科背景中,这些“正则”的意义相差甚远,初学者对这些差异会感到极大的困惑。这个困惑的程度,比另一个常见的数学名词―齐次性,引起的要严重一些。毕竟,诸如(非)齐次线性方程组、齐次微分方程、齐次多项式(函数)等,这些“齐次”的含义虽然不同,但其定义很清晰,理解起来一般不会有难度。

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  由此可知,正则现象(指某对象的正则性和正则化)与某种规则相连。正则化,顾名思义,就是根据某规则,按照(某种)方式行事,这个过程中要求的对象的性质,就称为正则性。粗略来讲,正则就是在实际应用中向某个规则靠拢,以此解决仅靠规则解决不了的“棘手”问题以及由此而产生的一系列相关问题:譬如函数正则化方法,是用光滑函数逼近一般函数(其光滑程度不满足实际需要)的方法,就是函数向光滑函数靠拢之意,二者达到一定的接近程度,就可用光滑函数的方法来解决一般函数的问题;某测度是正则的,按照定义指的是对集族中的任一集合(对测度而言,是非常“难测”的),都可找到一个“可测”的集合,使后者包含前者,并且二者的“测度”是相等的,这可理解为集族中任一集合的某度量都向某一测度靠拢,因而得到集族的一个测度。
  2 黎曼积分过程
  积分就是为解决面积问题而提出的。求平面图形的面积,我们自然求助于规则图形的面积公式,那么,对不规则图形,如何求面积?
  黎曼积分(就是一般微积分教材中的定积分)给出了基于正则性(化)思想的处理办法―在平面图形的曲边逐点连续时用求规则图形面积的公式得到任意不规则图形面积的一种方法。
  回顾定积分概念的引入。任给一个平面图形,如何得到它的精确面积?
  这里我们还是考虑用已有的面积公式,即我们希望能使用某已知求面积公式。用哪一个公式?如何用那个公式求出这种图形的精确面积?这两个问题都很关键。注意到,整块平面的面积等于将它分割成各部分后各部分面积相加的结果。因此,下面我们的考虑思路是,首先将这一平面图形规则的分割成几大块,针对其中的某一块,在某个坐标系下将其再分割成与某坐标轴平行的、仅有一边是曲线的图形;下一步是继续分割,让每一个这样的图形越来越窄,及每一个的曲线边的长度越来越小。这样的操作一直下去,直到这些不规则的窄长的图形几乎可视为规则的矩形,我们就可以用公式计算出这样的每一个图形的面积,然后再把这些部分的面积加起来,就可以求得整个不规则图形的面积。
  3 一般函数的磨光
  4 结论
  微分的逆运算是积分,那么微分方程的解就是积分的结果或是一种积分形式。而微分方程,无论常微分方程还是偏微分方程,涉及的微分一般都是古典导数意义下的。在古典导数意义下,即使初等函数,求积分问题也没有完全解决,那么我们是如何研究一般由古典导数意义给出的微分方程的呢?为此,人们引入了广义导数,它是建立在积分过程之中:利用一般分部积分过程,定义弱导数;又根据函数序列在可积空间中的收敛,可得强导数的概念。这两个定义是可以互相推出的,也就是等价的。有了广义导数,对微分方程的研究就转移到了可积空间,如Sobolev空间、Besov空间等,利用这些空间的性质,可分析对应微分方程的解的各种形态。鉴于一般微分方程的复杂性,一般是将空间范围扩大,以找到它的解,然后在回到方程所在的恰当的空间。这个回到恰当空间的过程,就是一个研究正则性的过程。什么是正则性?为什么可直接求解的微分方程无正则性研究?就是因为对可求解的方程而言,无需再回到原空间中的缘故。这里正则性要研究的内容就是由广义导数进行的微分方程解的分析与方程真正的解之间有何关联,差别在哪里,还有哪些未考虑到的内容等。
  通过考察黎曼积分过程和一般函数的磨光经历及微分方程的求解策略,阐释数学问题处理过程中常用的正则性(化)思想。具体地讲,就是在规则严格不允许使用时,如何使研究对象巧妙地运用该规则,并处理随之而来的一系列问题,最终回到原问题上去的过程。读者朋友见到正则现象时,若能够分辨一下具体问题中要适用的规则,和规则的要求不被满足的情况,积极地联系上下文,确定“正则化”过程,初步理解涉及的正则概念,本文的目标就实现了。
  另外,正则也作为奇异的反义出现,如由局部可积函数构成的所谓正则广义函数和不是由局部可积函数构成的奇异广义函数。类似的情况很多,这里就不一一举,这样的例子往往含义是清晰的。对如解的正则性这类正则性方法的使用,读者可依据本文中提到的正则内涵,结合正则出现的具体环境去考虑其涵义。
  参考文献
  [1]齐民友.重温微积分[M].北京:高等教育出版社,2015:260-279.
  [2]荣蓉.几类偏微分方程组的部分正则性及极限理论研究[D].广州:广州大学,2022.
  [3]苏芳慧.两类中立型发展方程非局部Cauchy问题解的存在性与正则性[D].上海:华东师范大学,2022
  [4]李天理,周本达.基于弱解一阶偏导数Navier-Stokes方程解的正则性[J].滁州学院学报,2021(23):58-61.
  [5]JIANG Z H,ZHU M X.Regularity Criteria for the 3D Generalized MHD and Hall-MHD Systems[J].BulletinoftheMalaysianMathematicalSciencesSociety,2018(41):105-122.
  [6]KUKAVICAI,RUSINW,ZIANE M.On Local Regularity Conditions for the Navier-Stokes Equations[J].Nonlinearity,2019(32):1905-1928.
  [7]ANH CT,SON DT,TOIVM.Regularity of Global Attractor for a 3D Magnetohydrodynamic-alpha Model[J].AnnalesPoloniciMathematici,2017(120):97-114.

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