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对抽象函数的定义域求解问题的思考

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  【摘 要】抽象函数是中学数学的一个难点,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开。本文从函数的概念谈起利用具体函数来研究抽象函数的定义域问题。并在本文中 阐述了多个参考书出现的错解。
  【关键词】抽象函数;定义域
  抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数, 由于抽象函数的解析式隐含不露,表面高度抽象,其有关问题对同学们来说有一定难度,特别是其定义域,大多数学生解答起来总感觉迷惑不清.其实,抽象函数并不是我们想象的那样困难,它必定脱胎于中学数学中常见的具体初等函数。我们只要根据题设给出的特征式,结合中学常见的初等函数,必然能发现熟悉的印记。在教学了解到很多学生对抽象函数的定义域求法的困惑,主要是对函数定义理解的不深刻。”概念”是基础更是本质,它看似平淡,实则蕴含无穷力量。学生若能剥开概念本质,则对抽象函数的定义域求法问题的解决就“所向披靡,无往不胜”。
  1 利用具体函数来研究抽象函数的定义域问题
  由此我们设f(x)的定义域为D,则f(g(x))的定义域=g(x)的定义域∩
  根据上面的具体函数模型,我们把它抽象成复合函数定义域的求解问题。1、已知f(x)的定义域为(0,+ ),求f(x+1)的定义域 。2、已知f(x+1)的定义域为(-1,+ ),求f(x)的定义域 。3、已知f(x)的定义域为(- ,1),求f(lg(x-1))的定义域。有了具体函数做背后支撑,学生理解就不那么困难了。
  2 参考书出现的错解
  对于有些参考书出现了错解问题,我举这样的两个互相矛盾的例子来谈谈我的看法。
  考,我认为④式存在问题。咱们给④式找个具体函数例如f( )= 定义域为(- ,0),f(x)= 定义域为(-1,1). f(x)的表达式也可以是f(x)= ,所以f(x)的定义域可以是(0,1)
  出现这样的错误,主要是教科书中没有复合函数的定义,为此对概念把握肤浅导致认识不深刻。教科书应根据学生理解的需要添加复合函数的概念。
  参考文献:
  [1] 中学数学教学参考
  [2] 数学通讯
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