基于信赖域技巧的共轭梯度方法的图像重建算法研究
作者 :  李晓杰

  摘  要: 图像重建算法是电容层析成像系统研究的关键技术,寻找一种重建图像速度和重建图像质量都能满足工业应用要求的图像重建算法是十分必要的。基于信赖域方法的共轭梯度算法是在普通共轭梯度算法的基础上提出的一种新的图像重建算法,提高了图像重建的质量与速度。
  关键字: 电容层析成像; 图像重建; 共轭梯度法; 信赖域
  中图分类号: TN919?34; TP301.6               文献标识码: A                     文章编号: 1004?373X(2014)24?0045?02
  Study on image reconstruction algorithm of conjugate gradient algorithm based on
  trust region technique
  LI Xiao?jie
  (Network Information Center, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)
  Abstract: Image reconstruction algorithm is the key technology of electrical capacitance tomography system research. It is necessary to look for a kind of image reconstruction algorithm which can meet the requirements of industrial application in image reconstruction speed and quality. The conjugate gradient algorithm based on trust region method is a new image reconstruction algorithm proposed on the basis of the general conjugate gradient algorithm. It improved the speed and quality of image reconstruction.
  Keywords: electrical capacitance tomography; image reconstruction; conjugate gradient algorithm; trust region
  0  引  言
  电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography,ECT)技术是基于电容敏感场特性的一种过程层析成像技术。其基本原理是:根据不同多相介质具有不同的介电常数这一物理特性,通过电容传感器阵列形成一个旋转的空间敏感场,然后从不同方向的观测视角对包含多相介质的管道进行快速扫描,获得被测管道的各相介质的介电常数分布情况。在此基础上,运用一种合适的图像重建算法,显示出被测管道的二维或三维介质分布图像。
  电容层析成像技术不仅在实验室研究,而且在工业生产应用中,都展示出良好的应用前景。目前,电容层析成像技术被广泛应用于国内外各类行业的工业生产中,如:不同流型下的空隙率测量及其流型辨识、矿石,水泥,谷物,煤粉等的气力输送过程、火焰成像、冻土样品中的物质分布及动态变化过程可视化等 。
  1  研究原因分析
  电容层析成像技术的研究,关键在于以下2点:
  (1) 获得更多、更准确的被测物场介质分布信息;
  (2) 寻求一种速度与精度更高的图像重建算法。
  介质分布信息的获取受硬件条件的限制较多,因此,对图像重建算法的研究,寻找一种重建图像速度和重建图像质量都能满足工业应用要求的图像重建算法是十分必要的。在图像重建领域,信赖域方法是一类新颖的研究方向[1],本文在共轭梯度算法基础上,提出一种基于信赖域技巧的共轭梯度算法,提高了成像速度与质量。
  2  算法的提出
  2.1  共轭梯度算法
  共轭梯度(CG)法介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,最初由Hesteness和Stiefel在求解线性方程组过程中提出的。由于其具有较好的收敛性和稳定性,Fletcher和Reevesd等人后来把该算法用于求解一般目标函数的极小值。
  共轭梯度算法求解图像恢复问题,即求下面的离散化问题:
  [Kf+n=h] (1)
  式中:[K∈Rm2×n2]为一对称正定矩阵,[f∈Rn2]为待求的输入,[h∈Rm2]为测量或观测到的输出。
  这里的目的是使:
  [n→min]  (2)
  即,极小化目标函数:
  [J[f]:=12Kf-h2] (3)
  显然目标函数是二次型,可表达为:
  [J[f]=12fTKTKf-hTKf+12hTh] (4)
  其梯度和Hessianz阵可以显式地计算为:
  [grad(J[f])=KTKf-KTh,Hess(J[f])=KTK] (5)
  共轭梯度法本身是一种迭代法,同时也是一种Krylov子空间方法,该算法的优点在于,它可以将复杂问题转化为阶段性的易于计算的子问题。但是其迭代终止条件是要求梯度足够小,这样需要很多次迭代才能够完成,使得算的解远远偏离于原问题的真实解。   2.2  基于信赖域法的共轭梯度方法
  信赖域方法是这样的一类方法,它在确保问题全局收敛的情况下还要求问题在局部具有快速收敛性。信赖域方法求解式(3),首先需要求解以下的信赖域子问题(TRS):
  [min?(s)=(grad(J[f]),s)+12(Hess(J[f])s,s),s.t.s≤Δ] (6)
  在信赖域算法的每一次迭代过程中,都需要精确和非精确地求解子问题式(6)来获得下一次迭代点的一试探步。取目标函数的下降量和对逼近模型的预估下降量的比值r作为检测试探步是否值得依赖的标准。
  令[sk]为式(6)的一预估解,记为:
  [Predk=Φk(0)-Φk(sk)=-Φk(sk)] (7)
  为逼近模型的预估下降量;记:
  [Aredk=J[fk]-J[fk+sk]]   (8)
  为目标函数的预估下降量。
  则:
  [rk=AredkPredk] (9)
  用[rk]的大小来判定是否接受信赖域试探步以及是否调整信赖半径。对于二次模型问题,发现比值[rk≡1]。根据目标泛函的极小化过程,泛函值[J[fk+sk]]至少不会比[J[fk]]更差。因此,不管目标泛函下降量多少,总是接受试探步[sk],这样可以不放弃求得的任何一个好点。
  3  数值测试
  仿真电容层析成像系统设计为半径200 mm管道型结构,激励和检测功能由8电极电容传感器完成,因此可获得28个测量值,利用有限元法将被测场剖分成512个单元。设置4种典型流型分布用于仿真试验:二气泡、中心流、单气泡、环状流采用共轭梯度法和带有信赖域技巧的共轭梯度算法进行图像重建,并在同一条件下,比较两种算法在成像质量和成像速度上效果,得出表1,表2中的测试数据。
  表1 图像误差      %
  表2 成像速度       s
  4  结  语
  本文针对共轭梯度算法提出了一种基于信赖域技巧的共轭梯度算法,并应用Matlab软件进行了算法实现。实验结果表明,基于信赖域的共轭梯度算法相比共轭梯度算法在成像速度上与成像质量上都有了很大的提高,为图像重建提供了一种有效的更精确的算法。
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