《几何概型》（第1课时）教学设计案例

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　　摘 要：《几何概型》的教学就是要抓住其直观性较强的特点。本文通过现实例子的解决说明几何概型的特征是实验结果的无限性和每个实验结果出现的等可能性。
　　关键词：几何概型 教材分析 教学设计 课后反思
　　中图分类号：G633.63 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2015）11-0270-02
　　1 教材分析
　　⑴从在教材中的地位和作用来看。概率这一章的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用科学的态度、辩证的思想、随机的观念去观察、分析研究客观世界的态度，寻求并获取认识世界的初步知识和科学方法。
　　⑵从学生认知角度看。从学生的思维特点看，很容易把本节内容与古典概型的特点、计算方法等方面进行类比，因为两者有联系，这是积极因素，教师应该因势利导，但几何概型的计算方法与古典概型有着本质的区别，这对学生的思维是一个突破。
　　⑶学情分析。本班基础很差，在由古典概型向几何概型的过渡和实际背景如何转化为几何区域时会遇到一定的困难，为了调动学生的学习兴趣，加深对知识的理解与应用，问题情境和例题习题的选用，应尽可能选择那些与日常生活息息相关的例子。
　　2 目标定位
　　⑴了解几何概型基本特点及与古典概型的异同点；会进行简单的几何概型计算。
　　⑵重点：几何概型的基本特点及三种不同“测度”的几何概型的简单运算。
　　难点：如何在实际背景中找出几何区域及如何确定该区域的“测度”。
　　3 教学案例
　　一、问题情境
　　先复习古典概型的特点和计算公式：
　　师：当随机试验的基本事件有无限多个时，概率如何求？来看两个例子。
　　问题情境1：教科书上的射箭比赛
　　问题情境2：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？（画图）
　　二、学生活动，建构数学
　　师：在学习古典概型之前我们是怎么去研究一个随机事件的概率的？
　　师：那么我们也来做这样的两个试验，去计算两个事件的频率，然后去估计这两个事件的概率。
　　射箭试验：用几何画板课件进行演示，模仿试验的过程，要求学生数出射中黄心的次数，由此估计出射中黄心的概率。
　　师：这个概率问题与古典概型有什么区别？
　　师：将射箭中靶面上的每一个点作为一个基本事件，由于靶面上有无数多个点，因此就有无限多个基本事件，这是和古典概型不一样的地方。
　　师：那么有没有和古典概型一样的地方呢？
　　师：大家认为我们要是求此题的概率的话，这个概率会和什么有关。
　　设计说明：此处的学生活动做试验算频率，意图是复习概率的统计定义，使学生知道这是研究概率的最常用的方法。然后让学生直观感知此类问题与古典概型的区别和联系，及此类问题的概率计算与什么因素有关。
　　剪绳子试验：几何画板演示，估计出剪断的两段长度都不小于1米的概率。
　　师：本题中每个剪断的位置可看做是一个基本事件，因为绳子上有无数多个点，因此基本事件的个数有无限多个，又由于是任意地剪断，因此绳子上各点被剪断是等可能的。
　　师：那么本题的概率和什么有关？当剪断的位置位于哪里时，该事件发生？
　　三、数学理论
　　几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，用这种方法处理随机试验，称为几何概型。（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）
　　几何概型的基本特点：⑴基本事件的个数有无限多个；⑵每个基本事件的发生都是等可能的。
　　几何概型的概率的计算方法：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为，测度的意义依D而定，当D分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的测度分别是长度、面积、体积等。
　　师：我们再来看刚才提出的那两个问题，即射箭和剪绳子试验，首先是剪绳子试验（链接到几何画板课件）这是一个什么概型，为什么？
　　师：根据几何概型的概率的计算方法，先找出两个区域来。区域D是什么呢？区域d又是什么呢？。
　　师：那么本题的概率怎么计算？
　　师：由于区域是平面图形，因此测度就是面积，概率就等于面积之比。
　　设计说明：⑴得到几何概型的概念和计算方法之后，再回顾解决两个试验，使学生对用几何概型公式解题有了一定程度的了解，而两个试验就像两个例题一样；⑵得出概率后与先前得到的频率作比较，强调做实验用频率估计概率，要在做大量重复试验之上才可能得到比较接近概率的结果，即对前面概率的统计定义做一个回顾和强调；⑶两种概型的联系和区别。
　　师：它们的联系是什么？区别呢？
　　四、数学应用
　　例1，取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
　　设计说明：此题学生很容易理解题目和得到答案，但是书写格式十分重要，一开始格式就要规范，故本题的设计意图就是规范几何概型问题的解题步骤，即：要有记（记事件），有解（解答过程），有答（写答案）
　　例2，在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含麦锈病种子的概率是多少？
　　本题的解答，学生不难得到，但是大多数学生却解释不清原因，因此，在讲解的时候要着重分析这样解题的原因，并将两小题做了比较，找出几何概型问题的一般解题方法，这样对学生的后续学习有较大的帮助。
　　例3，某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后立即上车的概率。
　　本题需有个抽象转化的过程，主要讲清楚两点：⑴抽象过程。将时刻抽象成点，时间就抽象成线段，其测度就是长度；⑵转化过程，本题是一个周期问题，需要将其转化到一个周期内去解决问题，要注意一个周期是15分钟不是18分钟。
　　五、回顾小结
　　六、课外作业
　　4 课后反思
　　以往教学这节课时，笔者发现学生都能比较轻松地了解几何概型的特征，比较容易掌握简单的几何概型的解题步骤和方法，但对几何概型问题的本质还不怎么理解。因此一旦题目中的几何区域不是那么明显，而要学生自己从这个题目的实际背景中抽象出几何区域来的时候，就会遇到很大的困难，连测度是长度、面积还是体积都无法辨别。因此这次再上这节内容的时候，笔者的课堂进度并不快，还让学生参与到试验的过程中来，就是想让学生着重体会如何寻找几何区域这个过程。
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