让“抽象函数”不抽象
作者 : 未知

  函数是每年高考的热点,而抽象函数性质的运用又是函数的难点.所谓抽象函数是指没有给出具体解析式的一类函数.此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及对性质的推理论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识,因此备受命题者的青睐,在近几年的高考中经常出现.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性,不少学生在解决这类问题时,感到束手无策.其实,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得,解题时,若能从研究抽象函数的“背景”人手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比、猜想出它可能为某种基本函数,常可觅得解题思路,从而使抽象函数不抽象.
  一、可与基本函数类比的抽象函数
  对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型(已学过的基本函数)代替求解,但可用特殊模型帮助理解题意,从而更好地解决抽象函数问题.
  1.线性函数型抽象函数
  例1 已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
  分析 由题设可猜测,函数f(x)是y=kx(k≠0)的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性.
  解 设x12,则x2-x1>0,因为当x>0时,f(x)>0,所以f(x2-x1)>0.
  因为f(x2=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),
  所以f(x2-f(x1=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)为增函数.
  在条件中,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),再令x=y=0,则f(0)=2f(0),
  所以f(0)=0,故f(-x)=-f (x),f(x)为奇函数,所以厂(l)=-f(-l)=2.
  又f(-2)=2f(-1)=-4,所以f(x)的值域为[-4,2].
  2.指数函数型抽象函数
  例2设函数f(x)的定义域为R,满足条件:存在x1≠x2,使得f(x10.
  解 (1)令y=0,代人f(x+y)= ,则 .所以 .
  若 ,则对任意x1≠x2,有f(x1) ,这与题设矛盾,
  所以f(x)≠0,所以f(0)=1.
  (2)令y=x≠0,则f(2z)=f(x). ,又由(1)知 ,
  所以 ,即 .故对任意 恒成立.
  3.对数函数型抽象函数
  例3设 是定义在 上的单调增函数,满足 .求:(1) ;(2)若 ,求x的取值范围.
  分析 由题设可猜测 是对数函数 的抽象函数. 2.再利用函数的单调性,脱去函数符号“f”,转化为代数不等式求解.
  解 (1)因为 (3),所以 .
  (2)
  从而有
  即 因为 是 上的增函数,故
  解之得:
  4。三角函数型抽象函数
  例4 已知函数 的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
  ①当 是定义域中的数时,有
  ② 是定义域中的一个数);
  ③当O1,故厂(0)一1.
  (2) 在R上单调递减.
  因为 时, ,则当 时,
  又因为 ,所以 ,则
  所以 对于x∈R恒成立.
  设
  所以 ,所以
  所以 ,即 ,所以 是R上的减函数.
  (3)由
  所以 ,因为 在R上单调递减,所以
  即 ,所以 为等差数列,又 所以
  总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难奏效,但我们如果能通过对题目的信息进行分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往能收到事半功倍之效,

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