圆锥曲线的两类常考题型
作者 : 未知

  摘 要: 圆锥曲线不仅在每年高考中都有考察,还是高三每次考试的必考题型,其中有两类题是常考题,一类是考范围或最值;一类是考面积或面积的最值.考察的知识较综合,计算量也大,作者对次两类题进行研究,以供大家参考.
  关键词: 圆锥曲线 面积 范围
  一、圆锥曲线与最值
  例1:已知以原点O为中心的椭圆上一点( ,1),离心率e= ,M是椭圆上的动点.若点F ,F 分别是其上下焦点,求|MF |・|MF |的最大值.
  分析:利用重要不等式,将问题转化为考察椭圆定义.常用的重要不等式有a+b≥2 ,a +b ≥2ab,第一个不等式的限制条件是a>0,b>0,第二个不等式的限制条件是a∈R,b∈R,使用时要分清各自的限制条件.
  解析:有题设易得椭圆方程为x + =1.由椭圆定义得|MF | + |MF |=2a=4,则|MF |・|MF |≤( ) =4,当且仅当|MF |= |MF |,即点M的坐标为(±1,0)时取等号,所以(|MF |・|MF |) =4.
  变式1:已知一点Q( , ),求|MQ|+|MF |的取值范围.
  分析:题目的所求体现了明显的几何特性,所以用图形性质解决该题.
  解析:|MQ|+|MF |=|MQ|+2a-|MF |=2a+|MQ|-|MF |
  因为,-|QF |≤|MQ|-|MF |≤|QF |,当且仅当M,Q,F 三点共线时,取“=”.|QF |= =1,所以3≤|MQ| + |MF |≤5.
  变式2:求 ・ 的取值范围.
  分析:题目的所求明显体现了一种明确的函数,因此,可用求函数最值的方法来解决.求函数最值的常用方法有配方法,判别式法,重要不等式法,导数法,图像法,分离常数法,换元法等.
  解析:设M(x ,y ),因为 ・ =(-x , -y )・(-x ,- -y ), ・ =x -3+y =1-3x ,因为-1≤x ≤1,所以-2≤ ・ ≤1.
  二、圆锥曲线与面积
  例2:已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为e= ,右焦点F(1,0).
  (1)求椭圆的标准方程;
  (2)若直线l与圆O:x +y =1相切,并与椭圆交于不同的两点A、B,求△AOB面积S的最大值.
  解析:(1) +y =1
  解法1:(2)由题意知直线的斜率可以不存在,若存在,斜率也不为零,故设l:x=my+n.
  因为l与圆O:x +y =1相切,所以 =1,即:n =m +1.
  又由 +y =1与l:x=my+n联立,消去x得(m +2)y +2mny+n -2=0.
  又△=8>0,设A(x ,y ),B(x ,y ),则|AB|= ・ = .
  S = |AB|×1= = ,n+ ≥2,当且仅当n =1,即m=0时,取等号.所以S ≤ ,所以△AOB面积S的最大值为 .
  解法2:l:x=my+n与x轴交点C(n,0)
  S = n|y -y |= .
  以下解法同上.
  变式1:若直线l过点C(0,-3)与椭圆交于不同的两点A、B,求△AOB面积S的最大值:
  分析:S = |OC|・|x -x |,因为直线斜率存在,且不为零,故设l:y=kx-3.
  将l:y=kx-3与 +y =1联立,消去y得(2k +1)x -12kx+16=0,写出两根之和与两根之积,判别式大于0,代入S = |OC|・|x -x |中,利用求函数最值的方法求△AOB面积S的最大值.
  变式2:N为椭圆上不同于A、B两点的任一点,求△NAB面积S的最大值.
  分析:此题与上例解法上的区别在于:当直线l 与直线AB平行且与椭圆相切时,此时切点N到直线AB的距离最大.设切线l :x=my+b,将l :x=my+b与椭圆方程联立,判别式等于零.其他步骤类似.
  点评:直线方程要对斜率是否存在进行讨论,对直线方程的引入常有两种形式x=ky+m,y=kx+m,其中x=ky+m用于直线斜率不存在但是不为零,其中y=kx+m用于直线斜率存在且可为零,所以在选择时要分清楚.
  参考文献:
  [1]刘建华.圆锥曲线中最值问题求解举例[期刊论文].中学生数理化:学研版,2011(7).
  [2]梁清芳.圆锥曲线最值问题的常用髓题方法及策略[期刊论文].中学课程辅导.教学研究,2011(17).

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