圆锥曲线的两类常考题型

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　　摘 要： 圆锥曲线不仅在每年高考中都有考察，还是高三每次考试的必考题型，其中有两类题是常考题，一类是考范围或最值；一类是考面积或面积的最值.考察的知识较综合，计算量也大，作者对次两类题进行研究，以供大家参考.
　　关键词： 圆锥曲线 面积 范围
　　一、圆锥曲线与最值
　　例1：已知以原点O为中心的椭圆上一点（ ，1），离心率e= ，M是椭圆上的动点.若点F ，F 分别是其上下焦点，求|MF |・|MF |的最大值.
　　分析：利用重要不等式，将问题转化为考察椭圆定义.常用的重要不等式有a+b≥2 ，a +b ≥2ab，第一个不等式的限制条件是a>0，b>0，第二个不等式的限制条件是a∈R，b∈R，使用时要分清各自的限制条件.
　　解析：有题设易得椭圆方程为x + =1.由椭圆定义得|MF | + |MF |=2a=4，则|MF |・|MF |≤（ ） =4，当且仅当|MF |= |MF |，即点M的坐标为（±1，0）时取等号，所以（|MF |・|MF |） =4.
　　变式1：已知一点Q（ ， ），求|MQ|+|MF |的取值范围.
　　分析：题目的所求体现了明显的几何特性，所以用图形性质解决该题.
　　解析：|MQ|+|MF |=|MQ|+2a-|MF |=2a+|MQ|-|MF |
　　因为，-|QF |≤|MQ|-|MF |≤|QF |，当且仅当M，Q，F 三点共线时，取“=”.|QF |= =1，所以3≤|MQ| + |MF |≤5.
　　变式2：求 ・ 的取值范围.
　　分析：题目的所求明显体现了一种明确的函数，因此，可用求函数最值的方法来解决.求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式法，导数法，图像法，分离常数法，换元法等.
　　解析：设M（x ，y ），因为 ・ =（-x ， -y ）・（-x ，- -y ）， ・ =x -3+y =1-3x ，因为-1≤x ≤1，所以-2≤ ・ ≤1.
　　二、圆锥曲线与面积
　　例2：已知椭圆 + =1（a>b>0）的离心率为e= ，右焦点F（1，0）.
　　（1）求椭圆的标准方程；
　　（2）若直线l与圆O：x +y =1相切，并与椭圆交于不同的两点A、B，求△AOB面积S的最大值.
　　解析：（1） +y =1
　　解法1：（2）由题意知直线的斜率可以不存在，若存在，斜率也不为零，故设l：x=my+n.
　　因为l与圆O：x +y =1相切，所以 =1，即：n =m +1.
　　又由 +y =1与l：x=my+n联立，消去x得（m +2）y +2mny+n -2=0.
　　又△=8>0，设A（x ，y ），B（x ，y ），则|AB|= ・ = .
　　S = |AB|×1= = ，n+ ≥2，当且仅当n =1，即m=0时，取等号.所以S ≤ ，所以△AOB面积S的最大值为 .
　　解法2：l：x=my+n与x轴交点C（n，0）
　　S = n|y -y |= .
　　以下解法同上.
　　变式1：若直线l过点C（0，-3）与椭圆交于不同的两点A、B，求△AOB面积S的最大值：
　　分析：S = |OC|・|x -x |，因为直线斜率存在，且不为零，故设l：y=kx-3.
　　将l：y=kx-3与 +y =1联立，消去y得（2k +1）x -12kx+16=0，写出两根之和与两根之积，判别式大于0，代入S = |OC|・|x -x |中，利用求函数最值的方法求△AOB面积S的最大值.
　　变式2：N为椭圆上不同于A、B两点的任一点，求△NAB面积S的最大值.
　　分析：此题与上例解法上的区别在于：当直线l 与直线AB平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线AB的距离最大.设切线l ：x=my+b，将l ：x=my+b与椭圆方程联立，判别式等于零.其他步骤类似.
　　点评：直线方程要对斜率是否存在进行讨论，对直线方程的引入常有两种形式x=ky+m，y=kx+m，其中x=ky+m用于直线斜率不存在但是不为零，其中y=kx+m用于直线斜率存在且可为零，所以在选择时要分清楚.
　　参考文献：
　　[1]刘建华.圆锥曲线中最值问题求解举例[期刊论文].中学生数理化：学研版，2011（7）.
　　[2]梁清芳.圆锥曲线最值问题的常用髓题方法及策略[期刊论文].中学课程辅导.教学研究，2011（17）.
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