抽象函数的求解策略
作者 : 未知

   解抽象函数问题要灵活应用题目条件赋值、转化和配凑,即通过对题设条件进行分析、联想,然后进行类比、猜想等合理思维方法,即可寻觅它的函数模型,借鉴函数模型的性质法则,探索出此类问题的解题思路。
   一、求函数值
   从特殊性入手,赋以某些变量恰当的特殊值,探索函数值变化规律,然后运用数值运算、推陈出新,求出函数值。
   例1:设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,求f(99)的值.
   分析:f(x+2)=,f(x+4)=f[(x+2)+2]=x=f(x),函数f(x)是以4为周期的函数,f(99)=f(-1).
   二、求函数解析式
   采取变量代换,去特殊值,联立方程消元或等价转换,逆推归纳等方法,选取既能简化运算,又易消元的变量或特殊值,求解析式。
   例2:已知2f(x)+f(-x)=3x+2,求f(x).
   分析:∵2f(x)+f(-x)=3x+2 ①
   用-x替换x得2f(-x)+f(x)=-3x+2 ②
   由①②联立方程组得:f(x)=
   三、求函数定义域,值域
   抽象函数的定义域一般要根据问题的要求来研究,求值域时要重视对应法则的作用,还要注意定义域对它们的制约。
   例3:若f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x-1)+f(x)的定义域.
   分析:f(x)的定义域为[0,2],则0≤x-1≤2且0≤x≤2得1≤x≤2,则y=f(x-1)+f(x)的定义域为[1,2].
   例4:若定义域在R上的函数y=f(x)的值域为[a,b],求f(x+1)的值域.
   分析:抓住f(x)的定义域为R这个条件,则x+1∈R,则f(x+1)的值域也是[a,b].
   四、求函数单调性
   基本方法是定义法,根据所给条件判断f(x1)-f(x2)符号,设法构造出x1-x2的因式。
   例5:若定义域在R上的函数y=f(x)对任意的实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,有f(x)>1,求证:f(x)在R上为增函数.
   分析:可证f(x)在R上恒大于0.
   设x1,x2∈R,且x10,
   则f(x2-x1)>1,且f(x1)>0,
   ∵f(x+y)=f(x)f(y)
   ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)
   ∴f(x)在R上为增函数.
   五、求函数奇偶性
   抽象函数的奇偶性的判断,关键找出f(x)与f(-x)的关系,因此先探索f(0)的值。
   例6:若定义域在R上的函数y=f(x),对任意x、y∈R, 有f(x+y)-f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,求证:y=f(x)是偶函数
   分析:令x=y=0,则2f(0)=2f 2(0),且f(0)≠0,∴f(0)=1令x=0,则f(y)+f(-y)=2f2(0)f(y)=2f(y).
   ∴f(-y)=f(y),即f(-x)=f(x)∴函数y=f(x)是偶函数.
   六、求函数周期性
   充分利用定义寻找常数T,反复使用恒等式。
   例7:已知y=f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f (x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立。求证:f(x)是周期函数.
   分析:∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
   f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x)
  =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)
   ∴f (x+3)=f [(x+1)+2]=-f [(x+1)-1]=-f(x)
   ∴f (x+6)=f [(x+3)+3]=-f (x+3)=f(x)
   ∴f (x)是周期函数且6是它的一个周期.
   七、抽象函数性质的应用
   1.求解不等式
   把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值,把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式,然后根据单调性得到自变量应满足的不等式,再进行求解。
   例8:函数f(x)对任意的实数m、n,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,有f(x)>1,f(x)在R上为增函数,若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
   分析:令x=y=2,则f(4)=2f(2)-1,又f(4)=5,所以f(3)=3.
   ∵f(x)在R上为增函数,∴3m2-m-2<2,解得原不等式的解集为(-1,).
   2.求函数最值
   求抽象函数最值一般有两条途径,一是由初等连续函数定义在区间上的单调性去求;二是根据条件,即根据函数性质建立不等式去求。
   例9:已知定义域在R上的奇函数y=f(x)满足f(a+b)=f(a)+f(b),当x<0时,有f(x)>0,f(1)=-2求f(x)在[-3,3]上的最值.
   分析:设x1、x2∈R,且x10,
   ∴f(x1)>f(x2)>0
   ∴f(x)在R上为单调递减函数.
   ∵f(1)=-2 ∴f(2)=f(1)+f(1)=-4,f(3)=f(2)+f(1)=-6,
   f(-3)=-f(3)=6
   ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.

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