函数图象变换
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【摘要】函数图像、图象变换、及函数性质是整个高中数学的重点和难点，我们对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，利用函数图像及其变换解题可以起到化繁为简、化难为易的作用，而且高考考试大纲中明确要求：学生要会运用函数图像理解和研究函数的性质。因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质。
【关键词】函数 图像 变换
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0188-03
很多教师在归纳函数图象变换时，把函数图象变换中的平移变换归纳为：左加右减，上加下减。这对简单的平移变换没有问题，但如遇到下面这个问题：“如何把函数y=f（2x）的图像平移得到函数y=f（2x+1）的图像？”，往往学生会回答：“把函数y=f（2x）的图像向左平移1个单位就得到函数y=f（2x+1）的图像”，这里平移的方向对了，但平移的单位是不对的，正确的应该是平移个单位。之所以会出现这样的错误，是因为平移变换的规律“左加右减，上加下减”只说明了平移方向，没有说明平移几个单位，没有抓住变换的实质。函数图象变换的实质就是“替换”，每一步变换只要考虑把原式中的x、y分别替换成什么。具体的规律如下：
一、平移变换
①把原式中的小x替换成x+a（其中a>0），表示函数图像沿x轴负方向平移 个单位即向左平移a个单位;
②把原式中的x替换成x-a（其中a>0），表示函数图像沿 x轴正方向平移 个单位即向右平移a个单位;
③把原式中的y替换成y+a（其中a>0），表示函数图像沿y 轴负方向平移a个单位即向下平移a个单位;
④把原式中的y替换成y-a（其中a>0），表示函数图像沿y轴正方向平移a个单位即向上平移a个单位;
这里的规律是：替换后的表达式x+a、y+a中是x、y加上正数a表示向负方向平移，替换后的表达式x-a、y-a中是x、y加上负数-a（其中a>0）表示向正方向平移。其要点是：加上正数向负方向平移，加上负数向正方向平移。为了便于记忆，我们可以把平移变换律归纳为四个字“正负相反”。
二、伸缩变换
①把原式中的x替换成ωx，如果ω>1，表示把函数图像的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）;
②把原式中的x替换成ωx，如果0<ω<1，表示把函数图像的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）;
③把原式中的y替换成ωy，如果ω>1，表示把函数图像的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变）;
④把原式中的y替换成ωy，如果0<ω<1，表示把函数图像的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）;
这里的规律是：x替换成ωx、y替换成ωy后，x、y的系数都从1变成了ω，如果ω>1，即系数变大了，表示相应的坐标缩小为原来的;如果0<ω<1，即系数变小了，表示相应的坐标伸长为原来的倍。其要点是：系数变大相应的坐标是缩小，系数变小相应的坐标是伸长。为了便于记忆，我们可以把伸缩变换规律归纳为四个字“大小相反”。
为了便于理解上述规律，下面举例说明。（为了便于说明，下文中的符号用到的“”，其中→表示替换，如x→x+1就是表示x替换成x+1;其中符号表示推出;其中文字“右移1个单位”表示原图像向右平移1个单位得到新图像，其余的符号类似。）
1.从简单表达式到复杂表达式
问题1：如何由y=f（x）的图象变换得到y=3f（2x-1）+2的图像？
思路1：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（x-1），第二步由y=f（x-1）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1），第四步由y=3f（2x-1）变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：
其完整的变换方法可表述为：先把y=f（x）的图像向右平移1个单位得到y=f（x-1）的图像，再把y=f（x-1）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）的图像，最后把y=3f（2x-1）的图像向上平移2个单位得到y=3f（2x-1）+2的图像。
思路2：将其变换方法分四步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到，第四步由变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：
其完整的变换方法可以表述为：先把y=f（x）的图像横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到y=f（2x）的图像，再把y=f（2x）的图像向右平移单位得到y=f（2x-1）的图像，再把y=f（2x-1）的图像向上平移个单位得到的图像，最后把的图像纵坐标伸长为原来的3倍（横坐标不变）得到y=3f（2x-1）+2的图像。
思路3：将其变换方法分五步，第一步由y=f（x）变换得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）变换得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）变换得到y=f（2x-1）+2，第四步由y=f（2x-1）+2变换得到y=3f（2x-1）+6，第五步由y=3f（2x-1）+6变换得到y=3f（2x-1）+2，可以将变换方法直观表示如下：
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