幂指函数的导数求法
作者 : 未知

  【摘要】求幂指函数导数对高职学生来说是一个难点,本文对幂指函数的导数求法做一总结。
  【关键词】函数  导数  偏导数
  【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)05-0137-01
  形如y=u(x)V(x)称为幂指函数。例如,y=xcosx、y=(1+x2)2x均为幂指函数。
  幂指函数既不是幂函数,也不是指数函数,因此在求导时不能使用幂函数或指数函数的求导公式。下面举例说明其求导方法。
  (一)用复合函数求导法则求幂指函数的导数
  定理:若函数u=?准(x)在点x处可导,函数y=f(u)在相应的点u处可导,则复合函数y=f[?准(x)]在点x处可导,且■=■・■.
  例1:求函数y=xcosx的导数。
  解:由于y=xcosx=elnx■=ecosxlnx,于是它可以分解为y=eu,u=cosxlnx,所以■=■・■=eu・(-sinxlnx+■)=xcosx・(-sinxlnx+■)
  说明:使用复合函数求导法则求幂指函数的关键在于正确分解复合函数,分解幂指函数是一个难点。
  (二)用对数求导法求幂指函数的导数
  对数求导法是先在y=f(x)两边求对数,然后使用隐函数求导法则求其导数。
  例2:求函数y=(1+x2)2x的导数。
  解:先在两边求对数得  lny=2xln(1+x2)
  上式两边对x求导得
  ■・■=2ln(1+x2)+2x・■
  所以 ■=y・2ln(1+x2)+■=2(1+x2)2x・ln(1+x2)+■       说明:在掌握隐函数求导法则后,使用对数求导法求幂指函数的导数就比较容易了。
  (三)用多元复合函数求导法则求幂指函数的导数
  在分解幂指函数y=xx时,学生经常分解为y=uV,u=x,v=x,这样分解后y是关于u和v的二元函数,u和v是关于x的函数,此时可以利用二元函数的偏导数求其导数。
  定理:如果设u=?准(x)及v=?渍(x)都在点x可导, 函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数, 则复合函数z=f(?准(x),?渍(x))在点x可导,且 ■=■・■+■・■。
  例3:求函数y=xx■的导数。
  解:令u=x,v=x2,则y=uv,于是
  ■=■・■+■・■=vuv-1+uvlnu・(2x)
  =x2・xx■-1+xx■lnx・(2x)
  =xx■+1+2xx■+1lnx=xx■+1(1+2lnx)
  说明:在掌握偏导数求法后,才可以使用多元复合函数求导法则求幂指函数的导数。
  参考文献:
   [1]赵佳音.《高等数学》,北京大学出版社.
   [2]同济大学应用数学系,《高等数学》,高等教育出版社.

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