架设“算理”与“算法”之间的桥梁
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一、困惑
案例一:
2010年9月我第一次执教苏教版教材,在教学“两位数除以一位数”(三年级上册)时,先出示这样的情境图:有52个羽毛球(5筒羽毛球,每筒10个,外加2个),平均分给2个班,每班能分到多少个?在学生理解了图意的基础上,列出了这样的算式52÷2,然后,请学生想一想怎样分。
学生同桌互相讨论后全班交流,形成了这样一种分发:先将5筒里的4筒平均分给2个班,每班2筒,即20个;再将剩下的1筒与2个合起来共12个,平均分给2个班,每班6个,20+6=26个。
这一部分两位数除以一位数算理的教学以学生为主体,在学生原有的认知结构基础上进行引导,符合学生的认知规律,学生的认识也比较到位,接下来的关键是怎样过渡到算法了。我是这样处理的:下面我们结合刚才的分法想一想如何用竖式计算52÷2呢?
师问:52中的5表示什么?生答:50。师补充:也就是5个十。师接下去问:那5个十除以2得几个十呢?
生答:2个十。
师说:那就在十位上商2……从算理过渡到算法的过程中,总感觉到过渡不自然,与算理关系不紧密,比较生硬。教师灌输得多,并不符合学生的认知规律。
案例二:
前不久我校的同课异构课活动,有两位老师执教了苏教版四年级上册“混合运算”这一内容,他们都是先出示情境图,让学生收集信息:一盒钢笔有10支,一共80元。1盒水彩笔18元,一个订书机12元,买1支钢笔和1个订书机共多少元?学生列出这样的综合算式:80÷10+12 、12+80÷10 ,然后结合实际需要让学生总结出这两个算式都应该先算出每支钢笔多少元即80÷10,再与一个订书机的价钱12元相加。接下来,老师又要求学生求出1盒水彩笔比1支钢笔贵多少元?学生列出这样的综合算式:18-80÷10,再结合实际需要让学生总结出这个算式应该先算出每支钢笔多少元即80÷10,再用水彩笔的价钱18元减去每支钢笔的价钱8元。在此基础上,让学生观察上面三个算式的运算顺序,找出它们的共同点:算式中有除法和加减法,应先算除法,再算加减法。我听到这个时候,感觉到学生对算理的理解是透彻的,由算理到算法的过渡是自然的,按照道理学生对算法的应用应该不成什么问题,但后来学生在进行类似的练习时错误率较高,达到50%左右。
二、启发
特级教师徐斌老师在执教苏教版二年级下册的“两位数乘一位数(不进位)”时,在算理与算法的过渡之间采取了以下策略:
1.初建模型:通过直观演示,使学生理解14×2的算理是:先用4×2=8,再用10×2=20,最后用8+20=28,从而初建这样的计算模型
2.架设桥梁:稍停顿后,让学生模仿上面的模型,计算下面三题:
3.观察、比较、思考、归纳:几题有哪些共同的地方?你们认为这样的竖式哪些地方可以不用?学生回答时,课件进行动态演示。(置黑的地方可以省去)
4.接下来,每人拿出橡皮,把刚才的三题擦一擦、改一改,擦的过程是进一步理解算理、掌握算法的过程。从而自己归纳出这样的竖式:
认真拜读徐老师的处理策略,我感觉到算理和算法之间并不可以一步到位,从直观的算理到抽象的算法需架设桥梁,完成从动作思维到形象思维再到抽象思维的过渡。
三、反思
1.对“算理”与“算法”的理解。“算理”从字面上理解指计算的道理,它是四则计算的理论依据,它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识;“算法”从字面上理解指计算的方法,它是实施四则计算的基本程序,通常是算理指导下的一些人为规定。
2.“算理”与“算法”之间的关系。理解算理是建构算法的前提。理解算理可以通过对情境图的观察、动手操作、实际问题的解决等形式进行,因为这些形式比较直观,因此学生对算理的理解难度不大。但通常学生并不是理解算理之后马上就能形成算法,算法是在算理的基础之上抽象概括而来的,算法的形成是一个缓慢的过程,需花一定的时间、采取有效的方法深化对算理的理解,也就是在算理与算法之间需架设一个桥梁,让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程,从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
3.案例一中如何架设“算理”与“算法”之间的桥梁。在帮助学生理解算理的时候,先出示这样的情境:有5筒羽毛球,要求平均分给2个班,每班分得多少个?学生很自然地会想到:先将5筒里的4筒平均分给2个班,每班2筒,即20个;再将剩下的1筒即10个再平均分给2个班,每班分得5个,20+5=25个。在此基础上,引导学生得到下面的竖式:
然后,竖式计算下面的三题:30÷2、70÷5、60÷4。接下来,再进行“有52个羽毛球平均分给2个班,每班能分到多少个?”的算理教学,将此题的算理与上题的算法相结合,引导出52÷2的算法。
4.案例二中如何架设“算理”与“算法”之间的桥梁。在提问80÷10+12 、12+80÷10中“应先算什么?为什么要先算”后,再换一个角度问一下:80÷10+12中能先算10+12吗?为什么不能?12+80÷10中能先算12+80吗?为什么不能?第二个问题可将“1盒水彩笔18元”改为“1个电子词典90元”,问“1个电子词典比1支钢笔贵多少元”?在学生列出90-80÷10的算式并说出要先算80÷10后,接下去问:能先算90-80吗?为什么不能?虽然回答这些问题学生有一定的难度,但经教师的引导启发可以加深学生对算法的切实把握。
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